Como a força de carga afeta a inércia da carga?

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Estou tentando simular um guincho como um motor de velocidade regulada que funciona através de uma caixa de engrenagens para levantar uma massa. A saída da caixa de engrenagens é um tambor, que gira para acumular o cabo.

Sinto-me confortável em converter a massa em um momento de inércia e também em converter esse momento de inércia (lado da saída) para o momento de inércia "visto" pelo motor (lado da entrada) com a relação da caixa de velocidades . Com uma simulação simples, não tenho problemas em escrever as equações de movimento.

Minha complicação ocorre quando quero modelar "esticar" no cabo. Eu pensei que poderia fazer isso simplesmente colocando uma mola de rigidez arbitrária entre o tambor do guincho e a massa, como na figura abaixo.

Com este modelo, por uma questão de simulação, suponho que conheço a "altura do tambor", que seria a distância que o tambor girou multiplicado pelo raio do tambor e pela altura da carga. A força da mola seria , mas como aplico isso ao motor ? $k(\phi r - y)$

Eu tenho um modelo de motor:

\frac{Θ}{V} = \frac{K_{T}}{R_{a} J s + K_{T} K_{b}}

$\frac{\Theta}{V} = \frac{K_T}{R_a Js+K_T K_b}$ e um modelo de controlador PI:

\frac{V}{Θ_{error}} = \frac{k_{p} (s + \frac{k_{i}}{k_{p}})}{s}

$\frac{V}{\Theta_\mbox{error}} = \frac{k_p \left(s + \frac{k_i}{k_p} \right)}{s}\\$ que é a velocidade do motor, é a tensão terminal, é a inércia da carga e da maquinaria e , e são a resistência da armadura do motor, a constante de torque e a constante EMF de retorno, respectivamente.

Θ

$\Theta$

V

$V$

J

$J$

R_{a}

$R_a$

K_{T}

$K_T$

K_{b}

$K_b$

A interação que estou interessada em estudar ocorre quando o controlador PI é sintonizado com a inércia de carga prevista , que seria encontrada com o motor, a caixa de engrenagens, o tambor e a massa de carga, mas o sistema realmente "vê" a massa elástica. $J$

A simplificação é feita configurando a proporção igual a , fornecendo: $k_i/k_p$ $K_TK_b/R_aJ$

\frac{Θ}{Θ_{error}} = \frac{V}{Θ_{error}} \frac{Θ}{V} = (\frac{k_{p} (s + \frac{K_{T} K_{b}}{R_{a} J})}{s}) (\frac{\frac{K_{T}}{R_{a} J}}{s + \frac{K_{T} K_{b}}{R_{a} J}})

$\frac{\Theta}{\Theta_{\mbox{error}}} = \frac{V}{\Theta_{\mbox{error}}}\frac{\Theta}{V} = \left( \frac{k_p \left( s + \frac{K_TK_b}{R_aJ} \right) }{s} \right) \left( \frac{\frac{K_T}{R_aJ}}{s+\frac{K_T K_b}{R_aJ}} \right)$

(Observe que posso deixar como variável porque a proporção pode ser definida como o que eu quiser via , desde que não seja zero.) $k_p$ $k_i/k_p$ $k_i$ $k_p$

Portanto, em um mundo ideal , onde o valor da inércia "total" é conhecido antecipadamente, o polo é cancelado e todo o sistema se reduz a: $J$

\frac{Θ}{Θ_{error}} = (\frac{k_{p}}{s}) (\frac{\frac{K_{T}}{R_{a} J}}{1})

$\frac{\Theta}{\Theta_{\mbox{error}}} = \left( \frac{k_p}{s} \right) \left( \frac{\frac{K_T}{R_aJ}}{1} \right) \\$

\frac{Θ}{Θ_{error}} = \frac{1}{\frac{R_{a} J}{k_{p} K_{T}} s}

$\frac{\Theta}{\Theta_{\mbox{error}}} = \frac{1}{\frac{R_aJ}{k_pK_T}s}$

Por fim, , portanto, com álgebra: $\Theta_{\mbox{error}} = \Theta_{\mbox{ref}} - \Theta_{\mbox{out}}$

\frac{Θ_{out}}{Θ_{ref}} = \frac{1}{\frac{R_{a} J}{k_{p} K_{T}} s + 1}

$\boxed{\frac{\Theta_{\mbox{out}}}{\Theta_{\mbox{ref}}} = \frac{1}{\frac{R_aJ}{k_pK_T}s + 1}}$

Então, me desculpe por espingardar tantos detalhes, mas eu queria impressionar quem lê que me sinto confiante com todos os meus passos até agora e que fiz um esforço considerável trabalhando nesse problema. Agora, novamente à minha pergunta - quero simular o alongamento do cabo entre o tambor e a carga, mas não sei como usar a força da mola para modular a inércia da carga.

Um pensamento que eu tinha era tentar fingir uma "massa equivalente", assumindo:

F = m_{equivalent} a m_{equivalent} = \frac{F_{spring}}{a}

$F = m_{\mbox{equivalent}}a \\ m_{\mbox{equivalent}} = \frac{F_{\mbox{spring}}}{a} \\$

mas isso não parece certo e não tenho certeza do que usaria para a aceleração . $a$

Estou frustrado por estar tão longe no problema e ficar perplexo com o que parece ser uma questão fácil, mas realmente não consigo pensar em uma maneira de abordar esse problema. Acho que se conseguisse enquadrar corretamente, poderia trabalhar a mecânica, mas é a conversão de força em inércia que sinto que precisa ser feita que me deixou perplexo.

Finalmente, para constar, também tentei rastrear meu modelo de motor para incluir o torque da carga. Isso fornece resultados aparentemente razoáveis, mas, no final, subtraio o torque da carga do torque do motor para obter o torque líquido, em seguida aplico esse torque líquido à inércia total para obter a aceleração do motor. Isso se alimenta na linha e, novamente, não tenho certeza se estou tratando a inércia total corretamente.

— Mandril
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Eu originalmente postei isso na física, mas a única resposta foram dois comentários sugerindo que eu pergunte aqui. Excluí a pergunta para evitar a postagem cruzada.

— Chuck

A constante da mola pode ser modelada usando a rigidez do cabo (módulos de Young); para uma determinada carga, o cabo se esticará mais se for desenrolado por um comprimento maior. Isso tornaria a mola "constante" aproximadamente inversamente proporcional ao comprimento do cabo desenrolado. No entanto, essa tensão também deve ser transferida para o tambor; portanto, essa tensão também estará presente em certa extensão no cabo que é enrolado no tambor.

— precisa saber é o seguinte

@fibonatic - Esse é o plano. A tensão "armazenada" no tambor pode criar um tipo de histerese ou efeito de memória. Isso não deve ser muito difícil de modelar, mas, novamente, o ponto específico em que estou preso agora é determinar como calcular a inércia total do sistema. Acho que não posso usar a massa de carga diretamente, mas não sei como modulá-la com a mola (ou deflexão da mola).

— Chuck

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Vamos primeiro calcular o modelo. O design do controle é um esforço separado.

O torque aplicado ao tambor é , onde n é a relação de transmissão e é a saída produzida pelo motor. , onde é uma constante de proporcionalidade e é a corrente do motor. $n T_M$ $T_M$ $T_M= K_T i(t)$ $K_T$ $i(t)$

Agora podemos escrever as equações para o sistema mecânico:

m y^{″} (t) + m g - k (y (t) - r θ (t)) = 0

$m y''(t)+m g-k (y(t)-r \theta (t))=0$

J θ^{″} (t) + k r (y (t) - r θ (t)) = n K_{T} i (t)

$J \theta ''(t)+k r (y(t)-r \theta (t))=n K_T i(t)$

Aqui m é a massa ek é a constante da mola.

Para escrever a equação do motor, precisamos determinar a fem de volta. O back fem é proporcional à velocidade do motor e, para escrevê-lo em termos da velocidade do tambor, multiplicamos também pela relação de transmissão n.

L i^{'} (t) + R i (t) + n K_{b} θ^{'} (t) = V (t)

$L i'(t)+R i(t)+n K_b \theta '(t)=V(t)$

Aqui é a tensão aplicada, é a indutância, é a resistência e é a proporcionalidade constante. $V(t)$ $L$ $R$ $K_b$

Essas três equações têm como entrada e , e como estados / saídas. Isso pode ser usado para obter o modelo de espaço de estado ou modelo de função de transferência. (O seguinte foi obtido usando o Mathematica) $V(t)$ $i(t)$ $\theta (t)$ $y(t)$

Agora o design do controle pode começar ...

Atualizar

Como houve alguma confusão sobre a inércia a ser usada, deixe-me esclarecer a resposta. Vou assumir um conjunto de engrenagens na caixa de velocidades - uma engrenagem com inércia no lado do tambor e uma engrenagem com inércia no lado do motor. $J_1$ $J_2$

Na resposta acima, negligenciei a inércia das engrenagens. A única alteração que precisa ser feita agora é modificar a segunda equação da seguinte maneira.

(J + J_{1}) θ^{″} (t) + k r (y (t) - r θ (t)) = n i (t) K_{T}

$\left(J+J_1\right) \theta ''(t)+k r (y(t)-r \theta (t))=n i(t) K_T$

Se a equação para descrever a dinâmica transitória do eixo do motor também for desejada, é uma equação adicional envolvendo (rotação do eixo do motor), a inércia , etc. No entanto, isso não é necessário se o objetivo é controlar a posição do tambor. $\theta_M$ $J_2$

— Suba Thomas
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Esta é uma ótima resposta, mas o que especificamente você está usando como na sua equação de torque do motor? Apenas as inércias do motor / caixa de velocidades / tambor?

J

$J$

— Chuck

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A equação de torque que escrevi é apenas para o tambor. é a inércia do tambor. (Pode ser feito mais complicado, dizendo que a inércia varia conforme o cabo está sendo ferida, o cabo não é sem massa, etc. Mas, eu acho que as suposições atuais não vai ser problemático.)

J

$J$

— Suba Thomas

@ Chuck, isso foi uma grande recompensa. Obrigado!

— Suba Thomas

Não é um problema; a pergunta que eu tinha me incomodava há muito tempo. Sua resposta me reforçou que eu preciso voltar "ao básico" - um diagrama de corpo livre. Vejo agora que a pergunta (e minha maneira de pensar) era bastante equivocada. Imagine se eu tivesse perguntado como poderia tratar o arrasto em uma aeronave como uma inércia dependente da velocidade da aeronave? Realmente, é uma pergunta boba - uma força é uma força e uma massa (ou inércia) não é. Eles estão relacionados, mas não são intercambiáveis. Mais uma vez obrigado pela atualização dinâmica!

— Chuck

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Alongamento na primavera delta Portanto, o delta Y não é constante, mas se você estiver interessado no delta Y_max $Y = A.sin(\omega.t) = A.sin\sqrt(k/m) . t$

delta , pela lei de Hooks. Como o seu sistema não acelera, exceto no início e no final, assumindo que a polia inicia e pára repentinamente, é o máximo. Qualquer aceleração gradual de início / parada terá que ser subtraída da aceleração da mola que é $Y max = m/k$

$- \omega^2 . t$
$\omega = \sqrt(k/m)$

olhando para o diagrama de corpo livre de massa
Como você observou, a força é $K(\phi.r - y)$

$m.dx^2/dt^2 = -K(\phi.r-r)$
divide os dois lados por K, obtemos:

$m/K.dx^2/dt^2 +\phi.r=y$

$\omega^2.dx^2/dt^2 +\phi.r =y$

Espero que isso ajude.

— kamran
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Não estou interessado em análise estática - este é um sistema dinâmico que estou tentando simular. Também não estou interessado no trecho da primavera; Eu posso calcular isso se eu puder atualizar corretamente a aceleração do motor. Meu problema é determinar a aceleração do motor. Deve ser , mas qual é a inércia da carga quando a mola é incluída? Esse é o núcleo da minha pergunta. Sem a mola, como vista pelo motor, a inércia da carga é . Como incorporar a primavera?

τ_{net} / J

$\tau_{\mbox{net}}/J$

m r^{2} {GB}^{2}

$mr^2\mbox{GB}^2$

— Chuck

Editarei minha resposta e tentarei pelo menos configurar o sistema para uma vibração de excitação básica.

— Kamran #

@ Chuck Eu acho que este com um pouco de modificação seria o que você estava procurando. Vibrações forçadas: math.ubc.ca/~israel/m215/forced/forced.html - Veja o terceiro caso em que a força está movendo o suporte para cima e para baixo.

— Kamran #

Se você não deseja a resposta dinâmica para quando o sistema passou pela inicialização e estabilizou em um movimento harmônico, mas interessado em ver como ele responde no momento transitório em que o tambor começa a girar, você deseja usar a integral Duhamel. Ele divide a força da mola em comprimentos pequenos, dx, com seu impulso atuando no sistema e depois integrado ao longo do tempo. Essa integral é chamada integral de convolução e o Matlab possui.

— kamran

2

Percebo que esse é um tópico antigo, e não tenho certeza de quão profundo você finalmente mergulhou nisso, mas uma coisa que não vejo explicada em suas equações é a fricção de tambor / cabo. Isso será pequeno e, como a massa acumulada do cabo de aço enrolado que você não incluiu, pode não estar na sua lista. O cabo pode ser pré-esticado e pré-carregado, no entanto, qualquer movimento entre o cabo e o tambor devido ao esticamento do cabo também encontrará atrito. Na minha indústria (aparelhamento de teatro, projeto de maquinário de palco), o sulco entra em contato com uma área maior do que uma aplicação de tambor plano, e geralmente temos atrito adicional ao longo das roldanas e mulas de redirecionamento no conjunto de linhas, principalmente em 2: 1 ou 4: 1 sistemas de vantagem mecânica.

— Eggy
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Esta é uma boa sugestão, obrigado. Você tem alguma referência de design ou outros textos que você poderia vincular? Estou me perguntando especificamente sobre manuais de comércio ou algo semelhante. Obrigado novamente!

— Chuck

Existem alguns livros específicos para o comércio, mas na maioria das vezes é tudo de engenharia mecânica ou física, portanto, o mesmo design de máquina e referências semelhantes. Coisas como Cat-0 E-Pára de levar em consideração o uso de motores de corrente e armação de treliça, típicas de eventos ao vivo ou concertos de rock, são comuns em instalações temporárias e permanentes. Eu projetei guinchos para efeitos de palco, velocidade de negociação para transportar capacidade ou vice-versa, mas isso tudo é em engenharia mecânica ou matemática aplicada.

— Eggy

Ah tudo bem, eu tenho todos esses então lol. Sempre à procura de um bom manual, embora :)

— Chuck

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Acho que a abordagem de Suba Thomas fornece um bom modelo: comece com a soma das forças na carga e a soma dos momentos no tambor. Em seguida, determine o modelo de motor necessário.

O modelo inicial do motor do mandril precisa de um sistema rígido, onde um valor único para o momento de inércia possa ser calculado, enquanto o objetivo do modelo é:

A interação que estou interessado em estudar ocorre quando o controlador PI é sintonizado com a inércia de carga prevista , que seria encontrada com o motor, a caixa de engrenagens, o tambor e a massa de carga, mas o sistema realmente "vê" a massa elástica. $J$

Uma observação sobre a inércia na equação do momento do tambor de Suba Thomas: Não esqueça a inércia do motor aumentada no tambor. Dependendo do motor escolhido, sua influência pode ser significativa. Então, eu escolheria $J = J_{motor} * i^2 + J_{drum}$

— jos
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No modelo (na minha resposta), a inércia do motor é capturada pela variável atual. O que foi negligenciado foi qualquer efeito das engrenagens. Pls veja minha resposta atualizada.

— Suba Thomas