Uma cadeira com rodas N + 1 é cada vez menos estável do que uma cadeira com rodas N?

Meu local de trabalho tem uma política para fornecer mesas de pé, mediante solicitação, mas nenhuma política para fornecer cadeiras de altura correspondente. (Trabalho para o governo ...) Podemos comprar nossos próprios ou construir nossos próprios. No entanto, eles acrescentaram que as cadeiras devem ser compradas ou construídas com cinco ou mais rodas.

Como cinco é uma simetria incômoda para medir e sentar, provavelmente eu construí minha cadeira com seis rodas. Ou talvez oito, porque eu posso começar com um quadrado e cortar os cantos para formar uma base de octógono. Ou talvez faça da base um círculo perfeito e forre o fundo com inúmeras rodas minúsculas?

Isso me fez pensar: existe alguma situação em que uma cadeira com rodas N + 1 é estritamente menos estável do que uma cadeira com rodas N?

Para tornar a pergunta interessante e descartar respostas triviais, suponha que as rodas estejam mais ou menos no perímetro da cadeira e distribuídas mais ou menos uniformemente. Suponha que o piso seja plano.

Supondo que todas as rodas estejam espaçadas uniformemente no mesmo círculo, mais rodas são sempre mais estáveis ​​do que menos rodas. No entanto, há um retorno decrescente à medida que o número de rodas aumenta.

A métrica da estabilidade é a que distância do centro do círculo o centro de massa pode estar antes que a cadeira tombe. A cadeira é estável sempre que o centro de massa estiver dentro do polígono formado por todos os pontos da roda. O pior caso é o centro de uma das arestas, pois esses são os pontos mais próximos do polígono ao centro do círculo. No limite, com um número infinito de pontos de suporte, a distância mínima à instabilidade é o raio.

Portanto, podemos quantificar a estabilidade como a distância mínima à instabilidade em relação ao raio. Um valor de 1 é o máximo, com infinitos pontos de suporte. Após um pequeno disparo, é fácil ver que essa métrica de estabilidade é:

  S = cos (Π / N)

onde N é o número de pontos de suporte. As métricas de estabilidade para valores de N até 20 são:

   NS
---- ----
   2 0,00
   3 0,50
   4 0,71
   5 0,81
   6 0,87
   7 0,90
   8 0,92
   9 0,94
  10 0,95
  11 0,96
  12 0,97
  13 0,97
  14 0,97
  15 0,98
  16 0,98
  17 0,98
  18 0,98
  19 0,99
  20 0,99

As cadeiras de escritório geralmente usam N = 5, que é uma troca entre ser bom o suficiente, mas não muito caro. A estabilidade extra de 7% da adição de uma 6ª roda não vale o custo. Ou, dito de outra maneira, você pode obter a mesma estabilidade de 6 rodas usando 5 rodas, mas aumentando a base mais 7% para fora.

Penso que o regulamento "saúde e segurança" sobre as 5 rodas é um compromisso entre estabilidade e custo.

Se o seu peso estiver na borda do assento da cadeira e a cadeira tiver apenas 3 rodas, será muito menos estável se você estiver alinhado com uma das rodas do que se você girar 60 graus para ficar no meio do caminho entre duas rodas. Isso pode acontecer (1) porque o ocupante liga o assento, (2) se a cadeira estiver em movimento e uma roda atingir uma obstrução que gire as pernas ou (3) o ocupante esteja sentado centralmente na cadeira, mas se mova de " inclinado para a frente "para" inclinado para trás ".

O resultado pode ser que uma posição sentada estável fique repentinamente instável. Para uma cadeira de três pernas, a distância mínima estável para uma compensação de carga do centro é apenas metade da distância máxima estável.

Um número maior de rodas reduz esse problema, mas aumenta o atrito que precisa ser superado para apontar todas as rodas na direção correta para mover a cadeira. Também é mais caro de fabricar. Na pior situação de tombar, toda a carga na cadeira é transportada em apenas uma roda, independentemente de quantas rodas a cadeira possui; portanto, aumentar o número de rodas não permite reduzir o tamanho de cada perna e roda !

A "proporção de estabilidade mínima: máxima" de 0,5 para uma cadeira de 3 rodas aumenta para cerca de 0,7 para 4 rodas, 0,8 para 5 e 0,9 para 7 rodas. IIRC, os regulamentos de segurança no Reino Unido mudaram de 4 para 5 rodas em algum momento da década de 1970.