Como posicionar dois suportes de prateleira para a melhor distribuição de carga?

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Eu gostaria de montar uma prateleira na parede. Eu tenho dois suportes de prateleira para fazer isso, assim:

Em relação à prateleira, onde coloco os suportes (azuis) para obter a melhor distribuição de carga?

mechanical-engineering statics

— Nico Schlömer
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Existem alguns detalhes que seriam úteis para adicionar a esta declaração de problema. Como os suportes se prendem à parede? Eles estão fisicamente presos à prateleira ou repousam livremente em cima deles? Eles se estendem a toda a profundidade da prateleira? Qual é o uso pretendido da prateleira (ou seja, coisas leves, coisas pesadas, um único item, seu gato)? De que material são feitas as prateleiras e suportes? Os suportes estão classificados para lidar com uma determinada carga? Quais são as dimensões da prateleira (ou pelo menos o seu próprio peso)?

— Air

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Como com todas as coisas boas, isso depende.

Se você pode supor que seus suportes são totalmente rígidos e que o carregamento na prateleira será aproximadamente uniforme, basicamente você tem a seguinte estrutura:

Uma seção retangular (como uma prancha) se comportará igualmente em um momento de flexão positivo ou negativo; portanto, seu objetivo deve ser equilibrar os dois. Para fazer isso, você deseja que sua extensão principal seja vezes os cantilevers. Isso é encontrado calculando-se o cantilever necessário para compensar metade do momento fletor devido a uma carga uniforme ao longo de uma viga simplesmente suportada: $2\sqrt2 \approx 2.83$

\begin{aligned} M_{m i d} & = \frac{q L_{m i d}^{2}}{8} - M_{c a n t} \\ M_{c a n t} & = \frac{q L_{c a n t}^{2}}{2} = \frac{M_{m i d}}{2} = \frac{q L_{m i d}^{2}}{16} \\ ∴ 8 L_{c a n t}^{2} & = L_{m i d}^{2} \\ 2 \sqrt{2} L_{c a n t} & = L_{m i d} \end{aligned}

$\begin{align} M_{mid} &= \dfrac{qL_{mid}^2}{8} - M_{cant} \\ M_{cant} &= \dfrac{qL_{cant}^2}{2} = \dfrac{M_{mid}}{2} = \dfrac{qL_{mid}^2}{16} \\ \therefore 8L_{cant}^2 &= L_{mid}^2 \\ 2\sqrt2 L_{cant} &= L_{mid} \end{align}$

Se sua prateleira estiver vazia, exceto por uma única carga concentrada em qualquer lugar, você deverá encontrar os pontos para os suportes em que o momento de flexão máximo devido a uma carga concentrada nas bordas será igual ao de uma carga na meia-mola.

\begin{aligned} M_{m i d} & = \frac{P L_{m i d}}{4} \\ M_{c a n t} & = P L_{c a n t} = M_{m i d} = \frac{P L_{m i d}}{4} \\ ∴ 4 L_{c a n t} & = L_{m i d} \end{aligned}

$\begin{align} M_{mid} &= \dfrac{PL_{mid}}{4} \\ M_{cant} &= PL_{cant} = M_{mid} = \dfrac{PL_{mid}}{4} \\ \therefore 4L_{cant} &= L_{mid} \\ \end{align}$

Tomando uma média dos dois casos acima, eu adotaria um vão principal cerca de 3,5 vezes maior que os cantilevers como primeiro palpite.

Se seus suportes estiverem frouxos, o que significa que eles não segurarão a prateleira se ela for levantada, então há o risco de tombar com muita carga em um cantilever, então você precisa calcular a carga máxima que o peso da sua prateleira pode resistir . Porém, existem muitas variáveis para descobrir isso trivialmente (peso linear da prateleira, peso máximo adotado etc.). E, honestamente, se seus suportes estiverem soltos, você realmente deve colocá-los nas extremidades, eliminando completamente esse risco (mas, portanto, reduzindo a carga máxima que a prateleira resistirá).

_{Diagramas obtidos com o Ftool , um programa de análise de quadros 2D gratuito.}

— Wasabi
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Existem vários critérios que você precisa considerar:

Para distribuir a carga da maneira mais uniforme entre os dois suportes, coloque-os o mais afastados possível. Isso estaria no fim neste caso.
Na pior das hipóteses, o objeto pesado colocado em uma extremidade e com mais nada na prateleira precisa não virar a prateleira. Isso coloca um limite para a distância das extremidades dos suportes.
A resistência da prateleira precisa ser maior para suportar a mesma carga que os suportes são afastados. Nesse caso, considere a carga do pior caso colocada exatamente no centro. Mesmo que a prateleira seja forte o suficiente para não ser danificada por essa carga, a dobra resultante pode ser censurável para você.

Somente você pode decidir como esses vários critérios concorrentes são compensados no seu caso.

— Olin Lathrop
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Uma correção: ao contrário do nº 1, desde que os suportes sejam colocados simetricamente, a carga será sempre distribuída igualmente entre eles. E o nº 2 se aplica apenas se os suportes estiverem soltos (não aguentam tensão).

— Wasabi

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@Was: Para que o seu número 1 seja verdadeiro, a carga na prateleira deve ser distribuída uniformemente na prateleira. Isso não é realista para uma "prateleira" não especificada. Eu concordo com o # 2. No entanto, muitos suportes de prateleira são apenas algo para a prateleira descansar, portanto, a gorjeta é um problema. Mesmo se não, o suporte que não tem carga negativa fica mais do que a carga total, portanto, deve ser projetado com mais robustez. Mantive a simplicidade e não entrei em tudo isso, o que parecia estar mais de acordo com o nível da pergunta.

— precisa