Deformação de um feixe fixo-fixo com tensões de rendimento perfeitamente plásticas

Aqui está a configuração:

O problema pede para encontrar a relação entre a força $ P $ e o deslocamento de B ($ u_B $). Eu fiz isso corretamente:

$$ P = \ left (\ dfrac {E_1A_1} {L_1} + \ dfrac {E_2A_2} {L_2} \ right) u_B $$

Agora imagine que os membros AB e BC tenham estresses de rendimento ($ \ sigma_ {Y_1} $ e $ \ sigma_ {Y_2} $) e sejam perfeitamente plásticos após rendimento.

Eu preciso encontrar a relação entre $ u_B $ e $ P $ nos seguintes casos:

1. Nenhum membro rende - ($ 0 & lt; u_B & lt; \ sigma_ {Y_1} $) & amp; ($ 0 & lt; P & lt; P_ {y_1} $)
2. O membro AB rende, mas não o membro BC - ($ u_ {Y_1} & lt; u_B & lt; u_ {Y_2} $) & amp; ($ P_ {y, 1} & lt; P & lt; P_ {y, 2} $)
3. Ambos os membros produzem - ($ u_B & gt; u_ {Y_2} $) & amp; ($ P & gt; P_ {y, 2} $)

Estou com dificuldades para encontrar expressões explícitas para $ P_ {y_ {1/2}} $ e $ u_ {Y_ {1/2}} $. Não sei bem como relacionar o estresse de rendimento com o alongamento e o deslocamento dos membros.

Para ser honesto, esse problema amarrou meu cérebro e acredito que meu entendimento conceitual (ou mal-entendido) do problema está limitando minha capacidade de resolvê-lo matematicamente. Qualquer ajuda seria muito apreciada!

Edit: Aqui está o problema exato

Da Lei de Hooke, sabemos que

$$ \ epsilon = \ dfrac {\ sigma} {E} $$

Isso é válido até o ponto de rendimento. Considerando um material perfeitamente plástico, a deformação $ \ epsilon $ é constante após o ponto de escoamento, o que nos dá o seguinte gráfico:

Então, para responder à sua pergunta, qual é o valor de $ u_ {Y_1} $? Bem, é igual ao deslocamento sob o limite de elasticidade:

$$ u_ {Y_1} = \ dfrac {\ epsilon} {L} = \ dfrac {\ sigma_ {Y_1}} {E_1L_1} $$

Da mesma forma para $ P_ {Y_1} $:

$$ P_ {Y_1} = \ sigma_ {Y_1} A_1 $$

Agora, para o resto da questão, acho que vale a pena expandir sua equação:

$$ P = \ dfrac {E_1A_1u_B} {L_1} + \ dfrac {E_2A_2u_B} {L_2} $$

Isso é equivalente a

$$ P = \ sigma_1A_1 + \ sigma_2A_2 = P_1 + P_2 $$

(onde $ \ sigma_1 $ e $ \ sigma_2 $ são variáveis ​​e proporcionais a $ u_B $) o que significa que a força aplicada é igual à soma das forças aplicadas por cada membro, que são iguais ao produto do esforço e a área do membro. Tenha isso em mente.

Agora, a questão afirma que podemos supor que AB se torne plástico primeiro. Então, sabemos que a situação mudará quando $ u_B = u_1 $. Nesse caso, a equação acima será alterada para

$$ P = \ sigma_ {Y_1} A_1 + \ sigma_2A_2 = P_ {Y_1} + \ dfrac {E_2A_2u_B} {L_2} $$

Então, a partir desse ponto, o membro AB não aumentará mais o quanto ele resiste à deformação; não é mais proporcional a $ u_B $, mas é uma constante igual a $ P_ {Y_1} = \ sigma_ {Y_1} $. O membro BC, no entanto, ainda tem que ceder e, portanto, permanece proporcional a $ u_B $.

À medida que a força aumenta, $ u_B $ eventualmente atingirá $ u_2 $, ponto em que a colaboração de BC também se tornará uma constante e igual a $ P_ {Y_2} $, então temos

$$ P = \ sigma_ {Y_1} A_1 + \ sigma_ {A_2} A_2 = P_ {Y_1} + P_ {Y_2} $$

Isso nos diz que uma vez que ambos os membros cruzem a região plástica, a deformação tenderá ao infinito.

Então, tem sua resposta:

$$ P = \ begin {casos} \ begin {alinhados} & amp; \ left (\ dfrac {E_1A_1} {L_1} + \ dfrac {E_2A_2} {L_2} \ right) u_B & amp; & amp; \ text {for} u_B \ in [0, u_1] \\ & amp; \ sigma_ {Y_1} A_1 + \ dfrac {E_2A_2} {L_2} u_B & amp; & \ text {for} u_B \ in [u_1, u_2] \\ & amp; \ sigma_ {Y_1} A_1 + \ sigma_ {Y_2} A_2 & amp; & amp; \ text {para} u_B \ geq u_2 \ end {align} \ end {cases} $$

Que lhe dá o seguinte comportamento (a linha vermelha mostra a contribuição de AB e o verde, BC's; o preto é a resistência da estrutura inteira e é igual à soma de ambas as linhas):