Como calcular a indeterminação do quadro de junção de pinos?

Compreendo que, para calcular a indeterminação de uma estrutura de união por pinos, os desconhecidos têm que ser considerados, isto é, o número de elementos que correspondem ao número de forças internas, mais o número de forças de reação.

As equações que podem ser escritas para resolver essas incógnitas são o equilíbrio vertical e horizontal em cada nó, ou seja, 2 equações por nó.

Assim, o número de incógnitas menos o número de equações resulta na indeterminação do quadro de junta de pino.

No entanto, por que não incluímos a possibilidade de poder escrever o equilíbrio de momento como uma de nossas equações? Para a análise de vigas, a equação de equilíbrio de momento é considerada para o cálculo da indeterminação do feixe.

O ponto inteiro de uma conexão "pin" é que ela não resiste por um momento. Se você mover duas peças conectadas por meio de uma conexão de pinos, as peças devem se mover livremente, mas girar em relação umas às outras no pino. Como tal, os momentos são sempre considerados 0 em uma conexão de pinos.

Vamos considerar quadros de análise estáticos clássicos do segundo ano. Estes sempre têm as cargas aplicadas diretamente nos pinos, nunca nos membros. Como tal, o braço do momento é zero e, portanto, a equação do momento é irrelevante. Agora vamos considerar a análise do mundo real, quando uma carga é aplicada ao meio de um membro. Como o membro é considerado como tendo conexões fixadas, onde o momento em cada pino é zero, não precisamos contar com outros membros transmitindo essa carga. Em vez disso, esse membro único carregado pode ser tratado como um feixe de conexão fixo. Depois que a carga for resolvida, os pinos ainda terão - nenhum momento. Novamente, nenhuma equação adicional para resolver a indeterminação.

Observe que isso se aplica apenas a quadros estáticos. Quando os quadros se movem dinamicamente, os membros podem girar e essa rotação é causada por momentos de movimentos dinâmicos nos membros.

Para ser claro, assim como você considera o momento global de flexão para vigas, você também o considera para treliças.

No entanto, note que este é o global momento de flexão. Depois de calcular isso uma vez, não há motivo para calculá-lo novamente. Claro, você escolhe algum ponto arbitrário $ A $ para calcular $ \ sum M_A = 0 $, mas o ponto escolhido é completamente imaterial: não importa qual ponto você selecione, o resultado será o mesmo. Fazer o trabalho novamente por outro ponto $ B $ não lhe dará absolutamente nenhuma informação nova, já que tanto $ \ sum M_A = 0 $ e $ \ sum M_B = 0 $ estão representando exatamente a mesma coisa.

É por isso que, ao calcular vigas, não calculamos a soma do momento em torno de cada suporte: se $ \ sum M_A = 0 $ for satisfeito, assim como as equações de força global $ \ left (\ sum F_x = \ sum F_y = 0 \ right) $, então o momento de flexão global do outro suporte é garantido estar satisfeito.

E assim, assim como com vigas, você Faz precisa desse cálculo global do momento fletor. Mas você só precisa disso uma vez.

Você também não precisa se preocupar em calcular o momento de flexão interno em qualquer um dos pinos de treliça porque, bem, pinos são definidos como tendo momento de flexão zero. E, fundamentalmente, é por isso que o momento de flexão de cada articulação não é contado quando se pensa no determinismo de uma treliça: a determinação é sobre o equilíbrio entre o número de equações de equilíbrio global que temos disponíveis e o número de desconhecidos no sistema. O momento de flexão na junção de uma treliça não é um desconhecido; isto é definiram como zero.

É por isso que a equação de determinação estática para treliças é

$$ \ begin {alignat} {4} \ text {se 2D:} & amp; 2j - b & amp; & amp; = 3 \\ \ text {if 3D:} & amp; 3j - b & amp; & amp; = 6 \\ \ end {alignat} $$

onde $ j $ é o número de juntas e $ b $ é o número de barras.

Se a equação for satisfeita, a estrutura é estaticamente determinada. Se $ 2j-b & lt; 3 $ (ou o equivalente em 3D), então é indeterminado. Se $ 2j-b & gt; 3 $ (ou o equivalente em 3D), então é instável.

A constante à frente de $ j $ representa o número de forças internas existentes na estrutura: cada junta tem $ F_x $ e $ F_y $ (e $ F_z $ em 3D). Quanto mais articulações você tiver, mais forças internas precisará resolver. Claro, cada junta também tem $ M_z $ (e $ M_x $ e $ M_y $ em 3D), mas sabemos que é zero, então não precisamos resolvê-lo.

E então por que o lado direito é igual a 3 (ou 6 em 3D)? Bem, isso é precisamente porque é quantas equações de equilíbrio global temos: $ \ sum F_x = \ sum F_y = \ soma M_z = 0 $ (e $ \ soma F_z = \ soma M_x = \ soma M_y = 0 $ em 3D). Então, há a equação do momento global que você estava procurando.

Para uma treliça estável e determinante, podemos dizer que:

(# Reações Externas) + (# Membros) = 2 * (# Articulações)

Por que só temos duas equações por articulação e não três (ou seja, por que ignoramos o momento) é em grande parte devido às suposições que fizemos ao lidar com uma armação para começar.

As suposições típicas são:

1. Os membros são retos e carregam apenas carga axial
2. Articulações são pinos sem fricção (não podem levar momento)
3. As cargas são aplicadas apenas nas articulações

Como resultado dessas premissas, cada articulação representa um sistema de forças simultâneas. Ou seja, todas as forças passam por um ponto em comum. Se considerarmos nossa prática batata estática, podemos ver que este equilíbrio médio de momento é automaticamente satisfeito. Só podemos escrever a equação trivial "soma dos momentos = 0". Nenhum dos nossos desconhecidos de interesse participa desta equação e, portanto, a equação "soma dos momentos" não pode nos ajudar a resolver para as forças-membro. Portanto, temos apenas duas equações disponíveis por articulação.

Voltando a essa equação inicial então. Quando dizemos "determinante", tudo o que queremos dizer é que a estrutura em consideração pode ser resolvida com as equações da estática.

Para isso, devemos ter:

Número de coisas que queremos resolver = Número de equações que podemos escrever

Nós estabelecemos que o número de equações que podemos escrever = 2 * Não. Articulações. As coisas que queremos resolver são as reações externas e as forças internas dos membros (axiais apenas por causa de nossa suposição inicial).