Princípio do trabalho virtual versus teorema de Castigliano (segundo)

Eu dei uma olhada on-line e em alguma literatura, no entanto, não pareceu encontrar uma boa comparação para os dois métodos diferentes. Ambos são usados ​​para determinar deslocamentos e declives (rotação por teta) em um ponto em um continuum. O primeiro usa uma força de unidade virtual que é igual à energia de deformação no elemento (quando multiplicada pelo deslocamento de interesse) e o último usa diferencial em relação a uma força virtual que tende a zero.

Qual é o mais eficiente e qual é o mais preciso? Por que alguém escolheria o trabalho virtual em vez de Castigliano ou vice-versa?

Resposta curta: Castigliano fornece soluções rápidas e exatas em alguns pontos-chave de uma grande estrutura complexa, enquanto o trabalho virtual fornece modelos aproximados utilizáveis ​​para sistemas complexos que de outra forma seriam insolúveis.

O Teorema de Castigliano e o trabalho virtual são dois lados da mesma moeda matemática. Os métodos de Castigliano são anteriores ao trabalho virtual, mas começam os princípios fundamentais do trabalho virtual. Ele forma a metade mais simples do trabalho virtual, onde os deslocamentos podem ser resolvidos por meio de análise linear, mas usamos o trabalho virtual para obter a resposta mais rapidamente. O trabalho virtual é descrito para a segunda metade, em que não conseguimos resolver os deslocamentos com análise linear (sem resolver equações diferenciais e inúmeros coeficientes), e contamos com o trabalho virtual para encontrar uma boa resposta aproximada que se encaixe em muitos dos as condições de contorno.

Como dito acima, na maioria das aplicações do que os engenheiros usam para o método de Castigliano, o princípio principal é usar o que é conhecido da teoria do feixe elástico linear ou da treliça (pode ser usado em vários aspectos para essas estruturas) e resolver rapidamente uma estrutura submetido a forças altamente incomuns. Uma equação para as forças é escrita em termos de muitas forças desconhecidas da estrutura estaticamente determinada e, em seguida, as forças desconhecidas são removidas. Uma das forças desconhecidas (ou incomuns, mas conhecidas) é aplicada e os modelos e tabelas linearesusado para forças únicas pode nos dizer rapidamente o deslocamento real em vários pontos da estrutura. A força única pode resultar em 500 newtons de força em um ponto de reação por newton da força original ou em 5 newtons. Isso é gravado. A força desconhecida é removida e uma nova força é adicionada e testada. Uma vez encontradas todas essas reações e forças, o método de Castigliano pode resolver qual seria a deflexão final para todo o estado de carga, que pode não ser encontrado em uma tabela de estados de carga resolvidos. Isso é especialmente útil no caso em que existem suportes elásticos, suportes que desviam com base em quanta força eles aplicam, o que acontece em qualquer sistema real. O único limite dessa abordagem é o quão detalhadas são as tabelas e o princípio da superposição. Desde que o sistema possa ser tratado usando superposição,

O princípio do trabalho virtual vai além desse princípio - a idéia é simplesmente escrever uma equação para os deslocamentos com coeficientes desconhecidos. Pode ser a solução para o DE governante, ou pode ser completamente impreciso, mas precisa ser capaz de resolver todas as condições de contorno (no ponto A, o deslocamento é 0, etc.). Para vigas, a segunda derivada da equação de deslocamento resulta na equação do momento, a terceira derivada na equação de cisalhamento. Para chapas e outro continuum, o deslocamento é a tensão multiplicada pelo comprimento. Quaisquer termos de tensão podem ser escritos como o tensor de rigidezvezes a tensão, para que todo o trabalho virtual possa ser expresso simplesmente em termos de nossa equação de deslocamento desconhecida, em princípio. Portanto, o trabalho é simplesmente resolver os coeficientes desconhecidos, de modo a minimizar o trabalho virtual (tanto em energia potencial para sistemas estáticos quanto na soma de energia potencial e energia cinética para sistemas dinâmicos).

Um exemplo disso é freqüentemente dado com as equações usadas para a análise de elementos finitos, onde, em vez das equações de deslocamento normalmente quártico, uma equação cúbica é usada para o deslocamento. Isso ocorre porque temos no máximo dois graus de liberdade para rotações e dois graus de liberdade para deslocamentos; portanto, o máximo que podemos ter são quatro coeficientes desconhecidos - uma equação cúbica. Observe que isso significa que um FEA precisa então dividir uma carga distribuída em cargas pontuais que permitam que a equação cúbica tenha as mesmas deflexões que o quartic original. É isso que faz com que elementos únicos não mostrem as mesmas deflexões intermediárias que o quarttic original:

Mesmo sem superposição, o princípio do trabalho virtual ainda se aplica, desde que o seu tensor de rigidez seja responsável pela mudança no estresse em relação à tensão. Isso pode exigir uma equação de tensão desconhecida e independente , para substituir o tensor de rigidez. Variações desse tipo são usadas em muitos campos pelos engenheiros que precisam criar modelos matemáticos de seus sistemas, que formam a base para praticamente todos os métodos de elementos finitos. Em resumo, Castigliano fornece soluções rápidas e exatas em alguns pontos-chave de uma grande estrutura complexa, enquanto o trabalho virtual fornece modelos aproximados utilizáveis ​​para sistemas complexos que de outra forma seriam insolúveis.