Derivação para estimativa de frequência natural de ponte em Eurocódigos

Os Eurocódigos fornecem a seguinte equação para estimar uma "ponte simplesmente suportada sujeita apenas a flexão" *:

$$n_0 = \frac{17.75}{\sqrt{\delta_0}}$$

Onde

• $n_0$ é a frequência natural em hertz
• $\delta_0$ é a deflexão no intervalo intermediário sob ações permanentes em mm

A equação é aparentemente arrancada do nada, e não há explicação sobre de onde vem a constante 17,75. Como engenheiro, não gosto de usar uma fórmula que não entendo, mas mais do que isso seria útil para aprender os fundamentos por trás dela, para que eu possa ver se ela pode ser alterada para funcionar com outras condições de suporte.

Alguém pode fornecer uma origem derivada / fundamental para esse relacionamento?

* A referência completa é: EN 1991-2: 2003 6.4.4 [Nota 8] (Equação 6.3), se isso ajudar.

Se simplificarmos a ponte inteira em feixe fino 2D com um tamanho de seção constante, sem amortecimento interno e sujeito apenas a pequenas deflexões verticais, a frequência natural será determinada por um simples movimento harmônico:

$$n_0 = \frac{1}{2 \pi} \sqrt{ \frac{ k } { m } }$$

Onde é a frequência natural, k é a razão entre a força restauradora e a deflexão (a 'rigidez da mola' equivalente) em m é a massa por unidade de comprimento da viga.$n_0$$k$$m$

Em uma viga, a força restauradora é o cisalhamento interno causado pela forma desviada. Como a força exibida por uma viga é proporcional à taxa de mudança de cisalhamento, que está relacionada à rigidez ( ) e à taxa de mudança de momento, ela pode ser mostrada (nota: a deflexão é proporcional ao comprimento da feixe) que:$EI$

$$k = \alpha \frac{ EI } { L^4 }$$

Onde é o módulo de Young do material da viga, I é o segundo momento de inércia da seção da viga, L é o comprimento da viga e α é uma constante determinada pelas condições de suporte e pelo número do modo da resposta.$E$$I$$L$$\alpha$

Toda a literatura que vi expressa isso de uma maneira mais conveniente para a equação de frequência:

$$k = \left( \frac{ K }{L^2} \right)^2 (EI)$$

Substituindo de volta,

$$n_0 = \frac{ K }{ 2 \pi L^2 } \sqrt{ \frac{ EI } {m} }$$

O cálculo do valor de está bastante envolvido, e existe uma abordagem exata para soluções simples e métodos aproximados, incluindo o método de energia livre e o Raleigh Ritz. Alguns desvios para uma viga simplesmente suportada podem ser encontrados aqui .$K$

Deve-se notar que essa equação seria suficiente, mas como requer uma tabela para e o cálculo de um valor de E I que representa a ponte como um feixe homogêneo, os autores do Eurocódigo parecem ter decidido que seria reintegrar melhor a suposição de que k é constante ao longo da viga.$K$$EI$$k$

Para fazer isso, eles usaram o seguinte relacionamento:

$$\delta_0 = C \frac { w L^4 } { EI }$$

Onde é a deflexão máxima, C é uma constante ditada pelas condições de suporte, w é uma carga uniformemente distribuída constante ao longo do comprimento da viga.$\delta_0$$C$$w$

Sob peso próprio , onde g é a aceleração devido à gravidade (9810 mm / s ² ; como a deflexão nesta equação é dada em mm ).$w = gm$$g$

Portanto (reorganizado :)

$$\sqrt { \frac { EI } { m } } = L^2 \sqrt { 9810 } \frac { \sqrt { C } } { \sqrt { \delta_0 } }$$

E entao:

$$n_0 = \frac { 15.764 K \sqrt { C } } { \sqrt { \delta_0 } }$$

Valores gerais de e C podem ser encontrados em mesas de estrutural, por exemplo aqui , e aqui , respectivamente.$K$$C$

Para uma viga simplesmente suportada:

15,764K

$$K = \pi ^ 2 \text{ and } C = \frac { 5 } { 384 }$$ n0= $$15.764 K \sqrt { C } = 17.75$$ $$n_0 = \frac{ 17.75 } { \sqrt { \delta } }$$

Aqui está uma resposta possível.

Encontrei este documento (não tenho certeza da fonte exata), que contém uma derivação relacionada:

Em um problema simples de movimento harmônico, ondeké a rigidez elástica emé a massa que sofre vibração.

$$n_0=\frac{1}{2 \pi} \sqrt{\frac{k}{m}}$$ $k$$m$

$$k=\frac{\text{load}}{\text{deflection}}=\frac{F}{\delta}$$ $F$$\delta$ $$n_0=\frac{1}{2 \pi}\sqrt{\frac{F}{m\delta}}=\frac{1}{2 \pi}\sqrt{\frac{ma}{m \delta}}=\frac{1}{2 \pi}\sqrt{\frac{a}{\delta}}$$ $$n_0=5.03 \sqrt{\frac{a}{\delta}}$$ $a=12.4382$

Há mais informações sobre isso no livro de Ladislav Fryba "Dynamics of Railway Bridges" (1996). Se você ler o capítulo 4, verá a fórmula 4.53 na página 92:

$$f_1 = 17.753 v_{st}^{-1/2}$$

$f_1$$v_{st}$

Esta equação segue da fórmula para a deflexão do meio do eixo de um feixe simplesmente suportado carregado por uma carga uniformemente distribuída μg

$$v_{st} = {5 \above 1pt 384} {\mu gl^4 \above 1pt EI}$$

que é substituído em

$$f_j = {\lambda_j^4 \above 1pt l^4} ({EI \above 1pt \mu})^{1/2}$$

$$\lambda_1 = \pi$$

Substituir essas equações uma da outra usando g = 9,81 m / s ^ 2 dá

$$f_1 = {\pi \above 1pt 2} ({5 \above 1pt 384} g)^{1/2} v_{st}^{-1/2}$$

A avaliação numérica desta equação produz a equação desejada.

A dinâmica de engenheiros como eu, geralmente preocupada com a estática, pode estar repleta de erros e equívocos fáceis de cometer. Essa fórmula é muito útil para vigas simplesmente suportadas, pois pode ser relacionada rapidamente às cargas de peso próprio aplicadas e a uma proporção de carga ativa (geralmente 10%) sem ter que sofrer complicações.

Os cantilevers também podem usar uma constante semelhante (19,8 com udl, 15,8 com carga no ponto final). Tudo se quebra com vigas e quadros contínuos.

Eu construo uma verificação de frequência natural com todos os designs de feixes para acompanhar isso. Para estruturas de madeira, por exemplo, 8Hz é o alvo e para pisos de concreto / estruturas de aço 4-6Hz - como primeira passagem.

Existem também métodos aproximados e prontos para avaliar respostas dinâmicas. Devo dizer que a dinâmica ainda escapa e me confunde e sempre será! Então, fico o mais simples possível.