Como calcular uma curva senoidal modificada?

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Estou projetando um perfil de came bidimensional. Eu quero usar o método "seno modificado" para desenhar as mudanças de posição e ângulo. (veja o desenho em anexo). A curva senoidal modificada é na verdade uma combinação de curva cicloidal no primeiro e no último 1/8 da curva e uma curva senoidal no meio 7/8 da curva. É facilmente empregado quando as velocidades terminais são zero. No entanto, muitas vezes é necessário que um perfil de came simplesmente passe de uma velocidade (talvez zero) para uma velocidade terminal constante. A velocidade terminal é simplesmente um ângulo no diagrama de deslocamento.

O perfil é definido por:

y = {\begin{cases} \frac{h}{4 + π} (π \frac{θ}{β} - \frac{1}{4} \sin (4 π \frac{θ}{β})), & 0 < θ < \frac{1}{8} β \\ \frac{h}{4 + π} (2 + π \frac{θ}{β} - \frac{9}{4} \sin (4 π \frac{θ}{3 β} + \frac{π}{3})), & \frac{1}{8} β < θ < \frac{7}{8} β \\ \frac{h}{4 + π} (4 + π \frac{θ}{β} - \frac{1}{4} \sin (4 π \frac{θ}{β})), & \frac{7}{8} β < θ < β \end{cases}

$y= \begin{cases} \frac h{4+\pi}\left(\pi\frac\theta\beta-\frac14 \sin \left(4 \pi \frac\theta\beta \right) \right), & 0\lt\theta\lt\frac18\beta \\[2ex] \frac h{4+\pi}\left(2+\pi\frac\theta\beta-\frac94 \sin \left(4\pi\frac\theta{3\beta}+\frac\pi3 \right) \right), & \frac18\beta\lt\theta\lt\frac78\beta \\[2ex] \frac h{4+\pi} \left(4+\pi\frac\theta\beta-\frac14 \sin \left(4\pi\frac\theta\beta \right) \right), & \frac78\beta\lt\theta\lt\beta \end{cases}$

$45\deg \left( \frac\pi4 \right)$

como um exemplo,

$(0,0)$ $(3,2)$ $30$

$h$ $\beta$ $(3,2)$ $\frac{30}{180}\pi$

mechanical-engineering

— birdman3131
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\frac{d y}{d θ}

$\frac{dy}{d\theta}$

θ = 0.5 β

$\theta = 0.5\beta$

Eu usaria uma interpolação Hermite. Ele usa as quatro funções a seguir:

$h_1 = 2s^3 - 3s^2 + 1$

$h_2 = -2s^3 + 3s^2$

$h_3 = s^3 - 2s^2 + s$

$h_4 = s^3 - s^2$

E combina-os assim:

$output = (h_1 * startPoint) + (h_2 * endPoint) + (h_3 * gradientIn) + (h_4 * gradientOut)$

$s$ $0$ $1$ $output$ $startPoint$ $(0, 0)$ $endPoint$ $(3, 2)$ $gradientIn$ $0$ $gradientOut$ $tan(\frac{\pi}{6}) = \frac{1}{\sqrt{3}}$

$x_s = (h_2 * x_{end}) + (h_4 * tan(\frac{\pi}{6})) = (h_2 * 3) + (h_4 * \frac{1}{\sqrt{3}})$

$y_s = (h_2 * y_{end}) + (h_4 * tan(\frac{\pi}{6})) = (h_2 * 2) + (h_4 * \frac{1}{\sqrt{3}})$

Se você quiser obter mais informações sobre esse tipo de curva de interpolação, veja uma descrição matemática e uma descrição mais funcional .

— jhabbott
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Obrigado pelo trabalho que você fez. No entanto, não sei como chegar a uma equação geral a partir desta solução. Parece aplicar-se apenas ao exemplo.

— birdman3131

A equação geral inicia "output = (h1 * startPoint) + ..." - somente o bit depois é específico para o seu exemplo. Para entender, use 0 para startPoint e 1 para endPoint e, em seguida, plote 's' como 'x' e 'output' como 'y'. Tente ajustar o gradiente de entrada / saída para ver como a curva é afetada e ter uma ideia dela. Você verá como é fácil redefinir a parametrização de vários segmentos, se você quiser criar curvas mais complexas (corrigindo os gradientes para qualquer escala aplicada).

— jhabbott