Como calcular a força da alavanca quando a alavanca possui carga distribuída uniformizada?

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Temos uma alavanca simples de classe 1:

\begin{matrix} 5,000 kg \\ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ \\ ==================== \\ △ \\ ⊢ 1 m ⊣⊢ 4 m ⊣ \end{matrix}

$\begin {array}{c} \text {5,000 kg} \\ \downarrow \, \downarrow \, \downarrow \, \downarrow \, \downarrow \, \downarrow \, \downarrow \, \downarrow \, \downarrow \, \downarrow \, \downarrow \, \downarrow \, \downarrow \, \downarrow \, \downarrow \, \downarrow \, \downarrow \, \downarrow \, \downarrow \, \downarrow \, \downarrow \, \downarrow \, \downarrow \\ ==================== \\ \hphantom {==} \triangle \hphantom {==============} \\ \vdash \text{1 m} \dashv \vdash \hphantom {======} \text{4 m} \hphantom {======} \dashv \\ \end {array}$

A alavanca ( ) tem 5 m de comprimento. O ponto de apoio ( ) fica a 1 m de uma extremidade da alavanca. A alavanca tem um objeto assentado uniformemente sobre ela, pesando 5.000 kg. $===$ $\triangle$

Como computo a força para cima que precisa ser exercida no final do lado de 1 m da alavanca para manter a alavanca estacionária? é simples quando o peso é aplicado no final da alavanca. Mas o que acontece se o peso é distribuído ao longo da alavanca? $F = (W \times X)/L$

Nosso objetivo final é amarrar a extremidade livre (no lado de 1 m) para manter a alavanca nivelada e precisamos saber quão forte a corda deve ser.

mechanical-engineering statics

— furgão
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Como a massa é de 5k kg e a alavanca é de 5m, isso facilita bastante a simplificação, porque é exatamente 1k kg por m.

Os 2k kg (2m) mais à esquerda da massa têm seu centro de massa exatamente acima do ponto de apoio; portanto, pode ser ignorado, pois não fornece contribuição para o momento. Isso deixa 3k kg (3m) espalhados de 1m a 4m no lado direito. O centro de massa estará, portanto, a 2,5 m.

Agora é super simples, supondo que você queira o momento em que a alavanca está nivelada (ou seja, quando a gravidade está puxando para baixo, perpendicular à alavanca):

torque = r F = r m g

$\text{torque} = rF = rmg$

$r$ é o raio (distância) em m (2,5).
$m$ é a massa em kg (3000).
$g$ é a aceleração devida à gravidade em (9.80665). $\text{ms}^{-2}$

torque = 2.5 * 3000 * 9.80665 = 73549.875 Nm

$\text{torque} = 2.5 * 3000 * 9.80665 = 73549.875 \text{ Nm}$

Como sua edição / atualização indica que você está procurando a força para cima no final de 1m, este será o torque (de cima) dividido pela distância (1m). O que é, portanto, 73549.875 N.

— jhabbott
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Muito mais fácil e menos propenso a erros seria esquecer o 'cancelamento' de peças de massa, e basta usar que você pode modelar isso como uma massa de ponto de 5000 kg a 1,5 m do ponto de apoio! E, de fato, . Como Einstein disse : tudo deve ser feito o mais simples possível, mas não mais simples. Você tentou simplificar, mas acabou fazendo mais!

5000 * 1.5 = 3000 * 2.5

$5000*1.5=3000*2.5$

— Sanchises 18/03/2015

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Em qualquer situação contínua, você simplesmente usa a integração. A densidade de massa linear do seu bloco é 1000 kg / m. Agora você pode expressar o torque devido a uma fatia infinitesimal da barra de largura na posição como onde é medido a partir do ponto de apoio. Finalmente, você apenas resume todos os pequenos torques de cada fatia infinitesimal com integração. $\lambda=\frac{m}{\ell}=$ $dx$ $x$

d τ = (λ d x) * x * g

$d\tau=(\lambda dx) * x * g$

x

$x$

τ = λ g \int_{- 1}^{4} x d x = 7,5 g λ = 73,5 kN * m

$\tau = \lambda g\int_{-1}^{4}x\ dx=7.5\ g\lambda=73.5\ \text{kN*m}$

— Chris Mueller
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Para responder à nova pergunta, que é bem diferente da pergunta original, você precisará de uma força descendente de 7500 g N na ponta esquerda para equilibrar as forças.

Reserve alguns momentos do seu apoio (que agora é, de fato, um pivô):

F_{Extremidade livre de LHS} * 1 = 5000 * g * 1.5

$F_{\text{LHS free end}} * 1 = 5000*g * 1.5$

F_{Extremidade livre de LHS} = 7500 * g N

$F_{\text{LHS free end}} = 7500*g \text{ N}$

Em outras palavras, sim, você pode tratar sua carga distribuída como uma carga pontual atuando no centro da viga. Você pode provar isso resolvendo isso integrando a carga distribuída.

— thepowerofnone
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Uma carga uniformemente distribuída pode ser considerada como atuando em seu centro. Trabalhando em kg e m:

Momento no sentido horário sobre a extremidade esquerda = 5000 * 2,5 = 12500 Momento no sentido anti-horário sobre a extremidade esquerda = F * 1 (onde F é a reação no ponto de apoio)

Estes devem ser iguais para que seja equilibrado, dando F = 12500kg

Resolução vertical (a força total descendente deve ser igual à força total ascendente), tomando T como a reação na corda: T + 5000 = 12500, portanto T = 7500kg.

Ou convertendo em N (como você diz que deseja uma força e kg é massa, não força), então T = 7500 * 9,81 = 73575N = 73,6kN

— AndyT
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O efeito de qualquer força ao longo de uma alavanca é proporcional à sua distância do ponto de apoio. Essa boa relação linear funciona para que, para uma massa rígida, você possa simplesmente modelá-la como uma massa pontual no centro de massa.

Para efeitos de peso (força devido à massa e gravidade), é apenas a distância horizontal do ponto de apoio ao centro de massa. Se você definir X à direita e Y em seu diagrama, a coordenada Y da massa será irrelevante. Observe, no entanto, que quando a alavanca se move, a coordenada X da massa também se move, especialmente quando não está bem no braço da alavanca. Para pequenos movimentos da alavanca, você poderá ignorar isso.

Em termos matemáticos, o torque no ponto de apoio é o vetor do ponto de apoio ao centro de massa, atravessa a força gravitacional nessa massa. Como o último está sempre abaixo (-Y) neste exemplo, apenas o componente X do vetor para a massa é importante para obter a magnitude do toque.

— Olin Lathrop
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