Qual é a interpretação física do segundo termo no tensor viscoso de tensão nas equações de Navier-Stokes?

Eu tenho procurado por esta resposta por algum tempo. Eu li vários textos e até assisti algumas palestras on-line, mas muitas vezes isso nunca é explicado e apenas dado. O termo tensão viscosa nas equações de Navier-Stokes parece

\nabla \cdot τ = \nabla \cdot μ (\nabla \vec{u} + (\nabla \vec{u})^{T})

$\begin{equation} \nabla \cdot \tau = \nabla \cdot \mu \left(\nabla\vec{u} + (\nabla\vec{u})^T\right) \end{equation}$

Agora o termo $\nabla \cdot \mu \nabla\vec{u}$ é fácil o suficiente para entender como é a difusão de velocidade apenas, mas eu tenho um tempo difícil chegar com uma interpretação física do termo . Depois de expandir esse termo, acabei com $\nabla \cdot \mu (\nabla\vec{u})^T$

\nabla \cdot μ (\nabla \vec{u})^{T} = (\begin{matrix} \frac{\partial}{\partial x} \nabla \cdot \vec{u} \\ \frac{\partial}{\partial y} \nabla \cdot \vec{u} \\ \frac{\partial}{\partial z} \nabla \cdot \vec{u} \end{matrix})

$\begin{equation} \nabla \cdot \mu (\nabla\vec{u})^T = \begin{pmatrix} \frac{\partial}{\partial x} \nabla \cdot \vec{u} \\ \frac{\partial}{\partial y} \nabla \cdot \vec{u} \\ \frac{\partial}{\partial z} \nabla \cdot \vec{u} \end{pmatrix} \end{equation}$

o que parece implicar que esse efeito não está presente em um campo de velocidade livre de divergências, mas ainda não consigo encontrar nem encontrar nenhuma intuição física sobre o que esse termo realmente significa. Alguém entende o que esse termo representa fisicamente?

mechanical-engineering fluid-dynamics fluid-mechanics

— Adam O'Brien
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Além disso: você está certo de que o termo está ausente no fluxo incompressível. Parece que leva em consideração a difusão do momento devido aos gradientes de densidade. Duas parcelas adjacentes de fluido podem ter a mesma velocidade, mas com momento diferente; não há tensão de cisalhamento entre elas, mas o momento se difunde.

— Dan

Esta pergunta é sobre tópicos de engenharia. Eu removi vários comentários sugerindo outros sites para esta pergunta. Em parte por pedir uma compreensão aplicada da equação, mas também por fazer parte da mecânica do continuum. Por favor, lembre-se que não há problema em ser um ciumento de seu site pouco

Meta-discussão relacionada: meta.engineering.stackexchange.com/questions/266/…

O ponto sobre a presença de um gradiente de momento devido a um gradiente de densidade diferente de zero foi bom. Obrigado a todos por suas respostas!

— Adam O'Brien

Respostas:

Você não deve separar esses dois termos em busca de interpretação física. O termo é o tensor da taxa de deformação . O fluxo de momento (ou estresse) devido ao fato de termos um fluido em fluxo é explicado por todo o termo . Na equação NS, ambos os termos podem ser pensados como densidades de força (força por unidade de volume). Você está certo, que o segundo termo é zero para fluxos incompressíveis (veja aqui ). $\nabla\vec{u}+\left(\nabla\vec{u}\right)^T$ $\dot{\gamma}$ $\mu\left(\nabla\vec{u}+\left(\nabla\vec{u}\right)^T\right)$

ATUALIZAÇÃO: A derivação completa do tensor da taxa de deformação é complexa e pode estar fora de escopo aqui. Se você estiver interessado, descobri que um bom recurso é Introdução à Mecânica dos Fluidos por Whitaker. Resumidamente, vamos aceitar que o tensor representa a taxa de deformação e o sólido como o movimento rotacional. Qualquer tensor pode ser decomposto da seguinte maneira: $\nabla \vec{u}$ O primeiro termo é tipicamente chamado de tensor de taxa de deformação, é simétrico e pode ser demonstrado que ele não inclui nenhum movimento rotacional rígido. O segundo termo é tipicamente chamado de tensor de vorticidade, é simétrico de inclinação e pode ser demonstrado que ele não contribui para a taxa de deformação e que representa um movimento rotacional rígido.

\nabla \vec{u} = \frac{1}{2} (\nabla \vec{u} + {(\nabla \vec{u})}^{T}) + \frac{1}{2} (\nabla \vec{u} - {(\nabla \vec{u})}^{T})

$\nabla \vec{u} = \frac{1}{2}\left(\nabla\vec{u}+\left(\nabla\vec{u}\right)^T\right)+\frac{1}{2}\left(\nabla\vec{u}-\left(\nabla\vec{u}\right)^T\right)$

— Salomon Turgman
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Foi isso que eu achei ao investigar, mas estava tentando encontrar algo como uma derivação do tensor da taxa de deformação antes de me comprometer com uma resposta, para entender por que ela inclui a matriz regular e de transposição.

— Trevor Archibald

Obrigado, passei pela derivação de tensor de taxa de deformação da geometria, como você sugeriu, e isso me ajudou muito.

— Adam O'Brien

Concordo com @sturgman, não se deve olhar para partes individuais, mas tentar entendê-lo no contexto de ints.

Observando a versão muito básica da equação de Navier-Stokes (usando a notação de Einstein ):

ρ \frac{D u_{i}}{D t} = ρ k_{i} + \frac{\partial}{\partial x_{i}} (- p + λ^{*} \frac{\partial u_{k}}{\partial x_{k}}) + \underset{\nabla \cdot (η [(\nabla \vec{u}) + (\nabla \vec{u})^{T}])}{\underset{⏟}{\frac{\partial}{\partial x_{j}} (η [\frac{\partial u_{i}}{\partial x_{j}} + \frac{\partial u_{j}}{\partial x_{i}}])}}

$\rho\frac{\mathrm{D}u_i}{\mathrm{D}t} = \rho k_i + \frac{\partial}{\partial x_i} \left( -p + \lambda^*\frac{\partial u_k}{\partial x_k}\right) + \underbrace{\frac{\partial}{\partial x_j} \left( \eta \left[ \frac{\partial u_i}{\partial x_j} + \frac{\partial u_j}{\partial x_i}\right] \right)}_{\nabla \,\cdot\, (\eta \, \left[ (\nabla\vec{u})+(\nabla\vec{u})^\mathrm{T}\right])}$

A parte inferior do original pode ser reescrita.

\frac{\partial}{\partial x_{j}} (η [\frac{\partial {você}_{Eu}}{\partial x_{j}} + \frac{\partial {você}_{j}}{\partial x_{Eu}}]) = η (\frac{\partial^{2} {você}_{Eu}}{\partial x_{j} \partial x_{j}} + \frac{\partial}{\partial x_{Eu}} [\frac{\partial {você}_{k}}{\partial x_{k}}])

$\frac{\partial}{\partial x_j} \left( \eta \left[ \frac{\partial u_i}{\partial x_j} + \frac{\partial u_j}{\partial x_i}\right] \right) = \eta \left( \frac{\partial^2u_i}{\partial x_j \partial x_j} + \frac{\partial}{\partial x_i}\left[\frac{\partial u_k}{\partial{x_k}} \right]\right)$

O que leva a:

ρ \frac{D {você}_{Eu}}{D t} = \underset{Eu}{\underset{⏟}{ρ k_{Eu}}} - \underset{II}{\underset{⏟}{\frac{\partial p}{\partial x_{Eu}}}} + \underset{III}{\underset{⏟}{(λ^{*} + η) \frac{\partial}{\partial x_{Eu}} [\frac{\partial {você}_{k}}{\partial x_{k}}]}} + \underset{IV}{\underset{⏟}{η [\frac{\partial^{2} {você}_{Eu}}{\partial x_{j} \partial x_{j}}]}}

$\rho\frac{\mathrm{D}u_i}{\mathrm{D}t} = \underbrace{\rho k_i}_{\text{I}} - \underbrace{\frac{\partial p}{\partial x_i}}_{\text{II}} +\underbrace{(\lambda^* + \eta)\frac{\partial}{\partial x_i}\left[\frac{\partial u_k}{\partial x_k}\right]}_{\text{III}} + \underbrace{\eta \left[ \frac{\partial^2u_i}{\partial x_j \partial x_j}\right]}_{\text{IV}}$

Na notação simbólica, deve se parecer com:

ρ \frac{D \vec{você}}{D t} = ρ \vec{k} - \nabla p + (λ^{*} + η) \nabla (\nabla \cdot \vec{você}) + η \nabla \cdot \nabla \vec{você}

$\rho\frac{\mathrm{D}\vec{u}}{\mathrm{D}t} = \rho\vec{k} - \nabla p + (\lambda^* + \eta)\nabla(\nabla\cdot\vec{u}) + \eta\nabla\cdot\nabla\vec{u}$

$\text{III}$ $\lambda^*$ $-2/3 \eta$

$\text{III}$ $\text{IV}$ $\text{III}$

— rul30
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Sinto muito :-( Não era minha intenção.

— peterh - Reinstala Monica