Estou tentando aquecer o óleo em uma caixa retangular de aço de 1/2 polegada de espessura usando um cobertor aquecido isolado coberto nas 6 faces da caixa, as condições de trabalho da operação são de -50 Celsius, a temperatura do óleo é precisa estar em 15 graus Celsius durante a operação, então preciso determinar quanto calor / energia é necessário para o cobertor e quanto tempo levará para a temperatura do óleo mudar de -50 Celsius para 15 Celsius?

diagrama resistivo de uma face, Rb = resistência pela espessura da manta de 1 polegada, Rw = parede retangular da caixa de aço

Fundações

A equação governante para o fluxo de calor no tanque é

$$k\nabla^2 T + \rho \tilde{C}_p \frac{\partial T}{\partial t} = \hat{\dot{q}}_o$$

onde temperatura, condutividade térmica, densidade e calor específico se referem ao óleo. O fluxo de calor é por unidade de volume.

-> Suponha que o óleo esteja bem misturado. Os gradientes internos desaparecem, dando

$$\rho \tilde{C}_p V \frac{d T}{d t} = \dot{q}_o$$

A equação governante para o fluxo de calor no ar é

$$(T_h - T_a) = \dot{q}_a R_a$$

usando as temperaturas do aquecedor e do ar, bem como a resistência térmica ao ar. Permita que também seja definido por uma equação de resistência térmica como . A potência total é .$\dot{q}_o$$(T_h - T) = \dot{q}_o R_o$$\dot{q}_T = \dot{q}_o + \dot{q}_a$

O sistema possui três incógnitas, , e .$T$$T_h$$\dot{q}_T$

Soluções

Geral

Defina , onde é a temperatura inicial do óleo. No tempo , podemos definir uma condição de contorno . Isso significa que o aquecedor tem a mesma temperatura do ar para iniciar. A opção de definir (o aquecedor igual ao óleo) é mais difícil de resolver. Podemos combinar e reescrever as primeiras equações de governo como$\Theta = (T_h - T) / (T_a - T_o) = (T_h - T) / \Delta T_{ao}$$T_o$$t = 0$$\Theta = 1$$\Theta(0) = 0$

$$-\rho \tilde{C}_p V \frac{d \Theta}{d t} = \frac{\Theta}{R_o} \Rightarrow - \frac{d \Theta}{d \tau} = \Theta$$

com . Nós encontramos a solução como$\tau = t / \rho \tilde{C}_p V R_o$

$$\Theta = \exp(-\tau)$$

Isso fornece uma equação para a diferença de temperatura entre o aquecedor e o óleo em função do tempo.

Escreva as equações de resistência térmica como

$$\dot{q}_o R_o = \Theta \Delta T_{ao}$$ $$\dot{q}_a R_a = - \Phi \Delta T_{ao}$$

com . A condição de contorno é que em . Terminamos com uma equação.$\Phi = (T_a - T_h) / \Delta T_{ao}$$\Phi = 0$$t = 0$

$$\dot{q}_T = \left(\frac{\Theta}{R_o} - \frac{\Phi}{R_a}\right)\Delta T_{ao}$$

Soluções

Resolva a equação para para obter versus .$\Theta = \exp(-\tau)$$T_h - T$$t$

Potência total constante

Resolva a equação para para obter .$\dot{q}_T$$\Phi(\tau)$

$$\Phi(\tau) = \frac{R_a}{R_o}\exp(-\tau) - \frac{R_a \dot{q}_T}{\Delta T_{ao}}$$

Resolva isso para partir de . Conecte a equação para na equação para encontrar a mudança de temperatura do óleo com o tempo.$T_h(\tau)$$T_h(\tau) = T_a - \Phi(\tau) \Delta T_{ao}$$T_h(\tau)$$T = T_h(\tau) - \exp(-\tau)\Delta T_{ao}$

$$\frac{T_a - T}{\Delta T_{ao}} = \left(1 + \frac{R_a}{R_o}\right)\exp(-\tau) - \frac{R_a \dot{q}_T}{\Delta T_{ao}}$$

Temperatura constante do aquecedor

Resolva a equação diretamente para versus . O valor de é uma constante. Conecte e na equação para para encontrar versus .$\Theta(\tau)$$T$$t$$\Phi$$\Theta$$\Phi$$\dot{q}_T$$\dot{q}_T$$t$

Tradução para imagem

A tradução para a imagem ocorre como

$$R_o = R_{CL} + R_w + R_{B1}$$ $$R_a = R_{CA} + R_{B2}$$ $$T = T_{Lubricant} \ \ \ T_h = T_s \ \ \ T_a = T_\infty$$

Exemplo

Aqui está um exemplo de um gráfico de versus gerado usando um código python / Jupyter.$\frac{T_a - T}{\Delta T_{ao}}$$\tau$

Sumário

Tome o ponto de partida para regular a temperatura do revestimento do aquecedor para obter o tempo de aquecimento desejado. Deixe a energia do aquecedor variar. A energia começa alta e diminui com o tempo (à medida que o óleo aquece). Estime a potência inicial usando valores em . Isso fornecerá uma estimativa fácil para o ponto de partida do nível de potência que você precisa quando o tempo é uma restrição.$t = 0$

Quando você começa com a potência inicial e a mantém constante, você aquece o óleo mais rapidamente. A temperatura do casaco aumentará com o tempo. Encontre o momento em que você precisa interromper ou reduzir a potência para evitar queimar o aquecedor.

Quando o tempo é crítico, é melhor isolar (aumentar ) do que aumentar a potência. Observe que e são multiplicadores, o primeiro especialmente para uma exponencial de tempo, enquanto poder é apenas um termo aditivo.$R_a/R_o$$(1 + R_a/R_o)$$R_a$