Preciso de ajuda para descobrir a distribuição de uma força de cisalhamento horizontal em um trapézio sólido elástico. Quando a força $ F_1 $ é aplicado a toda a superfície superior do trapézio, em equilíbrio, a força em todas as camadas horizontais do sólido é a mesma? Isso é $ F_1 = F_2 = F_3 = F_4 $ ? Ou a tensão de cisalhamento é a mesma e a força varia entre as camadas?
Respostas:
Considere o trapézio principal, uma coluna em balanço (supondo que seja fino o suficiente para ser objeto de cisalhamento plano, não sólido) com carga F aplicada ao topo.
Nós sabemos isso $ \ \ Sigma F_x = 0 $
Isto significa que se considerarmos o diagrama de corpo livre da coluna em qualquer nível horizontal, incluindo a base e o nível mostrado em seu diagrama, cisalhamento, V é constante e é sempre:
V = -F1.
Entretanto, o fluxo de cisalhamento, q não é o mesmo e a tensão de cisalhamento aumenta à medida que o comprimento da base do trapézio diminui no diagrama de corpo livre. por exemplo. se o comprimento da base tiver metade do comprimento no topo, o fluxo de cisalhamento q é duas vezes o fluxo de cisalhamento do topo.
A Segunda Lei do Movimento de Newton nos diz que a força aplicada a um objeto é igual ao produto da massa do objeto e sua aceleração.
$$ F = ma $$
Então, assumindo que o seu trapézio (ambos "metades" dele) permaneçam estáticos (isto é, com $ a = 0 $ ), então o força líquida aplicado no trapézio também deve ser zero. Neste caso, podemos afirmar que a soma de todas as forças horizontais deve ser igual a zero:
$$ \ sum F_x = F_1 - F_2 + F_3 - F_4 = 0 $$
(os sinais de menos para $ F_2 $ e $ F_4 $ são por causa da orientação que você deu a essas forças em sua pergunta).
Todas as forças iguais seriam satisfatórias para essa equação, assim como infinitas outras configurações (isto é, $ F_1 = F_2 + F_4 $ e $ F_3 = 0 $ ).
No entanto, você dividiu seu trapézio em duas metades. Eu suponho que isso significa que na verdade são dois trapézios, um sobre o outro, e ambos são estáticos ( $ a = 0 $ ). Neste caso, podemos aplicar a mesma equação a cada trapézio individual, o que nos dá
$$ \ begin {align} \ sum F_x & amp; = F_1 - F_2 = 0 \\ \ sum F_x & amp; = F_3 - F_4 = 0 \ end {align} $$
Isso é obviamente solucionável, com $ F_1 = F_2 $ e $ F_3 = F_4 $ . No entanto, ainda não podemos dizer se os dois pares são iguais entre si (isto é, se $ F_1 = F_3 $ ).
Para isso, podemos confiar na Terceira Lei de Newton, que afirma que toda ação produz uma reação igual e oposta. Olhando para $ F_2 $ e $ F_3 $ Isso é claramente o que estamos vendo: a ação e reação ao longo da interface entre os dois trapézios. Então, podemos obviamente afirmar que $ F_2 = F_3 $ , que combinado com a dedução anterior nos dá
$$ F_1 = F_2 = F_3 = F_4 $$
Então as forças são todas iguais. Como as áreas sobre as quais essas forças atuam são diferentes, isso significa que as tensões de cisalhamento serão diferentes.
Note que, como é, o seu trapézio iria realmente rodar devido ao casal formado por $ F_1 $ e $ F_4 $ , embora isso pareça estar além do escopo desta questão.