Estou tentando determinar um equilíbrio normal de tensão em uma interface fluido-fluido axissimétrica e dinâmica, $ z (r, t) $ . Para uma superfície estática e livre, isso simplifica a equação de Young-Laplace: $$ \ Delta p = \ rho gz- \ sigma2H = \ rho gz- \ frac {\ sigma} {r} \ frac {\ partial} {\ r parcial} \ left (r \ frac {\ partial z} {\ parcial r} \ right) $$ Onde $ z = 0 $ representa uma superfície plana não perturbada e $ H $ é a curvatura média da interface. Assumindo que a pressão aérea é simplesmente a pressão atmosférica, e a pressão abaixo da interface também pode ser escrita de forma axêmica, $ p (r, t) $ isso simplifica para: $ \ frac {\ sigma} {r} \ frac {\ partial} {\ partial r} \ left (r \ frac {\ z parcial} {\ partial r} \ right) = \ rho gz-p $$ Eu estou tentando determinar uma forma mais geral disso para uma interface fluido-fluido que está se movendo, ao contrário de uma interface líquido-gás que é estática. Se a interface estiver em movimento, isto é, dinâmica, a tensão viscosa precisa ser incluída. Uma forma geral que encontrei é dada Aqui Como: $$ n \ cdot \ hat {T} \ cdot n-n \ cdot T \ cdot n = \ sigma \ esquerda (\ nabla \ cdot n \ right) $$ Onde $ n $ é o vetor normal, $ T = -p + \ mu \ left [\ nabla u + \ left (\ nabla u \ right) ^ T \ right] $ e $ \ hat {T} = - \ hat {p} + \ hat {\ mu} \ left [\ nabla \ hat {u} + \ left (\ nabla \ hat {u} \ right) ^ T \ right] $ , $ u $ é a velocidade, e os símbolos de chapéu são para o fluido superior e os símbolos não quebrados são para o fluido inferior. eu sei $ \ nabla \ cdot n $ é a curvatura média, de modo que o lado direito se traduz no lado esquerdo da equação anterior. Eu acho que preciso adicionar o termo de pressão hidrostática também. Meu melhor palpite agora é que se parece com isso: $$ \ frac {\ sigma} {r} \ frac {\ partial} {\ r parcial} \ left (r \ frac {\ parcial z} {\ r parcial} \ right) = (\ rho- \ hat {\ rho}) gz-p + \ hat {p} + 2 \ mu \ frac {\ partial u_n} {\ n parcial} -2 \ hat {\ mu} \ frac {\ partial \ hat {u_n}} {\ n parcial } $$ e que o gradiente de velocidade normal pode ser estimado como $ \ frac {\ partial u_n} {\ n parcial} = - 2 \ frac {\ partial ^ 2 z} {\ r2 parcial} \ frac {\ partial z} {\ partial t} $ . Eu entendo isso primeiro considerando uma interface de curvatura constante, $ R $ , que está se movendo radialmente para fora. Pela conservação da massa, a velocidade radial pode ser dada como $ u (r) = \ frac {R ^ 2} {r ^ 2} \ frac {d}} {dt} $ Onde $ \ frac {dR} {dt} $ é a velocidade da interface. A partir disso, o gradiente de velocidade na interface pode ser escrito como $ \ frac {du} {dr} (R) = - \ frac {2} {R} \ frac {d}} {dt} $ . O inverso do raio de curvatura, $ \ frac {1} {R} $ é a curvatura da interface $ \ kappa $ , que pode ser estimado com base na forma da interface como $ \ frac {\ partial ^ 2 z} {\ partial r ^ 2} $ para valores não constantes, assumindo que $ \ left (\ frac {\ partial z} {\ partial r} \ right) ^ 2 \ ll 1 $ . Com essa suposição, também presumo que $ \ frac {d}} {dt} \ approx \ frac {\ partial z} {\ partial t} $ . Então a equação final seria algo como isto: $$ \ frac {\ sigma} {r} \ frac {\ partial} {\ r parcial} \ left (r \ frac {\ parcial z} {\ r parcial} \ right) = (\ rho- \ hat {\ rho}) gz-p + \ hat {p} -4 \ mu \ frac {\ partial ^ 2 z} {\ partial r ^ 2} \ frac {\ partial z} {\ t parcial} -4 \ hat {\ mu } \ frac {\ partial ^ 2 z} {\ partial r ^ 2} \ frac {\ partial z} {\ partial t} $$ Isso é o que eu tenho feito até agora, mas espero que alguém possa confirmar isso ou possa dar suas próprias idéias. Qualquer conselho ou sugestão seria muito apreciado, obrigado!