Quanto tempo leva para que a poeira se solte do ar?

Para fazer disso uma pergunta gerenciável, vamos adicionar algumas simplificações.

As partículas de poeira podem ser bem descritas como esferas uniformes de raio e densidade . $R$ $\rho$
O espaço é fechado e não há fluxo a granel, ou seja, o ar ainda está no sentido macroscópico.
O ar está na temperatura e pressão padrão (STP) ; e . $T=20\ ^\circ\mathrm{C}$ $P=1\ \mathrm{atm}$

Sob essas condições, qual é o tempo de estabilização das partículas de poeira? Em que tamanho / densidade o movimento browniano do ar se torna importante?

fluid-mechanics air-quality

— Chris Mueller
fonte

Respostas:

O tempo de sedimentação das partículas sólidas no ar depende principalmente do tamanho da partícula. Forças diferentes se tornam significativas, dependendo do tamanho da faixa que você está falando, por isso é difícil dar uma resposta concisa e precisa.

Farei o meu melhor para sintetizar os pontos importantes, em vez de fazer uma referência em papagaio; Dito isto, no que diz respeito a aplicações práticas no campo da qualidade do ar, o texto que eu recomendo é o Controle da Poluição do Ar da Cooper & Alley . Em particular, vou extrair muitos detalhes dessa resposta da Seção 3.3: Comportamento particulado em fluidos.

Visão geral da sedimentação gravitacional

O pó não se comporta como as bolas de bocha de Galileu ; pequenas partículas de tamanhos diferentes caem em taxas diferentes. Para partículas sólidas, a variação na velocidade de sedimentação é devida principalmente à influência das forças de arrasto.

Você pode esperar que o movimento browniano "faça malabarismos" com partículas muito pequenas, impedindo que elas se assentem. Partículas de poeira suficientemente pequenas podem permanecer arrastadas indefinidamente, mas, na prática, isso tem mais a ver com o ar e nunca ficar perfeitamente imóvel do que com o movimento browniano. No contexto da qualidade do ar, nos preocupamos com o movimento browniano, principalmente quando consideramos a impactação (por exemplo, em gotículas de água em um lavador de MP ) ou a deposição (por exemplo, em folhagem perto de estradas ). Nenhum desses mecanismos é relevante para o caso de pura sedimentação gravitacional.

De fato, quando uma partícula sólida fica pequena o suficiente para começar a considerar o movimento de moléculas de ar discretas, descobrimos que na verdade se instala um pouco mais rapidamente do que a lei de Stokes implica. É quando aplicamos o fator de correção de escorregamento Cunningham determinado experimentalmente para reduzir o coeficiente de arrasto de Stokes. O factor de correcção de ar está relacionada com o diâmetro de partícula o e significativo caminho livre por: $d_p$ $\lambda$

C = 1 + 2.0 \frac{λ}{d_{p}} [1,257 + 0,40 \exp (- 0,55 \frac{d_{p}}{λ})]

$C = 1 + 2.0 \frac{\lambda}{d_p} \left [ 1.257 + 0.40 \exp(-0.55 \frac{d_p}{\lambda}) \right ]$

Quanto ao que "pequeno o suficiente" realmente significa, o texto da Cooper & Alley diz:

Para partículas menores que 1 mícron, o fator de correção do escorregamento é sempre significativo, mas se aproxima rapidamente de 1,0, pois o tamanho da partícula aumenta acima de 5 mícrons.

Isso pode ser uma justificativa suficiente para poupar o tempo ou os ciclos de processamento necessários para calcular o fator de correção quando tudo o que se preocupa são partículas relativamente grandes.

Equação de movimento

Podemos derivar uma equação de movimento em uma dimensão, como a seguir.

$m_{p} v_{r}^{'} = F_{g} - F_{B} - F_{D}$ $m_p v_r' = F_g - F_B - F_D$
$m_{p} v_{r}^{'} = m_{p} g - m_{uma Eu r} g - 3 π μ d v_{r}$ $m_p v_r' = m_p g - m_{air} g - 3 \pi \mu d v_r$
$v_{r}^{'} = g - \frac{m_{uma Eu r}}{m_{p}} g - \frac{3 π μ d}{m_{p}} v_{r}$ $v_r' = g - \frac{m_{air}}{m_p} g - \frac{3 \pi \mu d}{m_p} v_r$
$v_{r}^{'} = g - \frac{ρ_{uma Eu r}}{ρ_{p}} g - \frac{3 π μ d}{ρ_{p} V} v_{r}$ $v_r' = g - \frac{\rho_{air}}{\rho_p} g - \frac{3 \pi \mu d}{\rho_p V} v_r$
$V_{sphere} = \frac{1}{6} \pi d^3$ $v_{r}^{'} + \frac{18 μ}{ρ_{p} d^{2}} v_{r} = (1 - \frac{ρ_{uma Eu r}}{ρ_{p}}) g$ $v_r' + \frac{18 \mu}{\rho_p d^2} v_r = (1 - \frac{\rho_{air}}{\rho_p}) g$

τ = \frac{ρ_{p} d^{2}}{18 μ}

$\tau = \frac{\rho_p d^2}{18 \mu}$

$\tau' = C \tau$

v_{r}^{'} + \frac{v_{r}}{τ^{'}} = (1 - \frac{ρ_{uma Eu r}}{ρ_{p}}) g

$v_r' + \frac{v_r}{\tau'} = (1 - \frac{\rho_{air}}{\rho_p}) g$

_{* O sistema de coordenadas para este exemplo é definido de forma que a velocidade de queda seja positiva.}

Velocidade terminal

$\dfrac{\rho_{air}}{\rho_p}$ $v_r' = 0$

v_{t} = τ^{'} g

$v_t = \tau' g$

\frac{v_{r}}{v_{t}} = 1 - e^{\frac{- t}{τ^{'}}}

$\frac{v_r}{v_t} = 1 - e^{-t \over \tau'}$

$t = 4 \tau'$

Poeira maior

Tudo isso é bom para poeira menor, mas e as coisas maiores que caem em seus olhos e fazem você tossir? Bem, más notícias da Cooper & Alley:

Para uma partícula maior que 10–20 mícrons se assentando em sua velocidade terminal, o número de Reynolds é muito alto para que a análise do regime de Stokes seja válida. Para essas partículas maiores, são necessários meios empíricos para obter a velocidade de sedimentação ...

"Meios empíricos" é uma boa maneira de dizer a si mesmo ou se acostumar a ler gráficos que plotam curvas ajustadas com expoentes decimais feios aos resultados de experiências anteriores.

— Ar
fonte

v_{terminal} = \frac{2 g R^{2} (ρ_{partícula} - ρ_{ar})}{9 μ}

$v_{\text{terminal}}=\frac{2gR^2(\rho_{\text{particle}}-\rho_{\text{air}})}{9\mu}$

μ

$\mu$

Encontrei alguns dados mais precisos para partículas de raios diferentes, dados em meias-vidas; um pouco mais de dados está aqui .

Um gráfico do tempo de assentamento para carvão, ferro e cimento é apresentado aqui , ilustrando ainda mais a relação não linear e exponencial inversa entre raios de poeira e tempo de assentamento.

A teoria da sedimentação é aplicada aqui às nebulosas solares. Não sei exatamente quantas das fórmulas podem ser aplicadas aqui, mas algumas podem ser úteis.

t = \frac{ρ_{poeira}}{ρ_{ar}} \frac{R}{v_{térmico}}

$t=\frac{\rho_{\text{dust}}}{\rho_{\text{air}}}\frac{R}{v_{\text{thermal}}}$

v_{térmico} = \sqrt{\frac{8 k_{B} T}{π μ m_{partícula}}}

$v_{\text{thermal}}=\sqrt{\frac{8k_BT}{\pi \mu m_{\text{particle}}}}$

— HDE 226868
fonte

Você começa com "para uma partícula individual ...". A idéia também é válida para uma névoa densa de partículas?

— Trilarion

@ Trilarion É, mas você teria que fazer cálculos diferentes para cada um.

— HDE 226868

Air Whoops, consertou a matemática. O que eu quis dizer sobre a altura foi que simplesmente conhecer a velocidade terminal não permitirá que você calcule o tempo de acomodação; você precisa conhecer as condições iniciais.

— HDE 226868

Verdade. Esses slides de nebulosa são realmente interessantes. Eles trazem outra limitação da abordagem da "esfera uniforme", que é que as partículas submicrônicas tendem a se combinar umas com as outras para formar partículas finas e submicrométricas maiores. Algumas delas também são reativas ou se formam a partir de precursores no ar. Muitas complexidades e uma área de muita pesquisa em andamento.

— Ar

@ Air Dado o quanto eu amo astrofísica e a área específica - discos de detritos - sendo estudada, foi uma grande surpresa aprender algo novo ao pesquisar algo bem diferente, a qualidade do ar.

— HDE 226868