Difusão externa: cálculo da concentração superficial

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Eu estou lutando um pouco com um problema de difusão externa. Eu estou tentando calcular a concentração na superfície (assim como a taxa de reação de superfície) e gostaria de alguma ajuda ou orientação.

Aqui está o que eu tenho até agora.

A reação ocorre, é

$D$

Eu quero calcular a concentração de B na superfície de uma partícula de catalisador esférica.

Fluxo:

$D$

Agora, da equação de difusão:

$D$ .

R_A pode ser aproximado pela taxa de reação de primeira ordem

$D$

então

$D$

(apenas ignore o " 2" após o =)

Agora, as condições de contorno que eu acho que devo usar, são

$d$

Nota , em todos os momentos, que já tem os valores das concentrações a granel de todos os componentes, e que também tem valores para D_i,je D_i,mixde todos i, j.

As minhas condições de contorno são escolhidas corretamente para resolver a concentração de superfície de B (isto é, c_B ou y_B ou P_B, que são todas relacionadas)?

Editar:

Eu preciso de valores de superfície para o cálculo do fator de efetividade. Eu posso usar qualquer maneira de calcular valores de superfície com os valores que eu já tenho.

Eu escolhi r para ser qualquer ponto na direção radial, mesmo "passado" a esfera (quando indo de r = 0, o centro), delta = a espessura da camada limite.

Editar 2:

Parece que eu posso ter complicado demais. Com base neste vídeo, o volume de controle considerado é apenas a parte do gás - a camada limite. Isso está correto, uma vez que a reação é assumida para ocorrer somente na superfície do catalisador e não na própria fase gasosa.

Nesse caso, $R_B=0$

$\therefore \large{ \frac{\partial }{\partial r}\left ( r^2 \frac{2cD_{B,\text{mix}}}{y_B-2} \frac{\partial y_B}{\partial r} \right)=0}$

Então, em e $y_B(0)=y_{B,\text{surf}}$ $y_B(\delta)=y_{B,\text{bulk}}$

!! Ahh, acabei de perceber um erro nas minhas condições de contorno. Em , estamos no centro da esfera, de modo que a condição de contorno esteja incorreta. !! $r=0$

Então, vamos tentar de novo:

Em e $y_B(r=r_{sphere})=y_{B,\text{surf}}$ $y_B(\delta)=y_{B,\text{bulk}}$

Do Matlab : $\large{y_B= 2+{\left (y_{B,\text{bulk}}-2 \right )} \left ( \frac{y_{B,\text{surf}}-2}{y_{B,\text{bulk}}-2} \right )^{\left (\frac{r_{\text{sphere}}\left ( \delta -r \right )}{r\left ( \delta -r_{\text{sphere}} \right )} \right )} }$

O que agora? Como obtenho os valores de concentração de superfície? Desde que eu não conheço a espessura da camada limite ( )? $\delta$

— Mierzen
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Primeiramente; uma imagem fala mais que mil palavras, ajudaria muito a entender o problema. Em segundo lugar; Você pode indicar quais são os seus números adimensionais relevantes (Dahmkohler) e seu valor? Por exemplo, se então você pode por aproximação dizer que a concentração de superfície do seu reagente limitante é zero.

Da ≫ 1

$\text{Da}\gg1$

— nluigi

1

A maneira como você resolveu seu problema, você tratou a concentração na superfície da esfera como conhecida ( ). Observe que, em sua resposta final, se você tudo o que conseguirá será . Em vez disso, sua condição de limite na superfície deve ser algo assim: $y_{B,\text{surf}}$ $r=r_\text{sphere}$ $y_{B,\text{surf}}$

N_{B, r} = - K_{1} P_{B}^{0.5} = - K_{1} y_{B}^{0.5} P^{0.5}

$N_{B,r}=-K_1P_B^{0.5}=-K_1y_B^{0.5}P^{0.5}$

Aqui você está igualando o fluxo na superfície da partícula de catalisador (onde a reação está acontecendo) com a taxa de reação. Reorganizando você pode escrever que em , é: $r=r_\text{sphere}$ $y_{B,\text{surf}}$

{(\frac{N_{B, r}}{- K_{1} P^{0.5}})}^{2}

$\left(\frac{N_{B,r}}{-K_1P^{0.5}}\right)^{2}$

Agora você poderia resolver o problema para encontrar o valor de que é constante no estado estacionário de acordo com suas equações. Você pode obter uma equação transcendental de que requer solução numérica ou gráfica. $N_{B,r}$ $N_{B,r}$

Uma ressalva, tudo isso é baseado em um modelo de filme de transporte de massa e reação heterogênea. Isso significa que você precisará de alguns dados experimentais para correlacionar a taxa de reação à espessura do modelo de filme, . $\delta$

— Salomon Turgman
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-1

Se nós podemos assumir que a esfera tem um raio , e que é a espessura da camada limite em torno da esfera, então as condições de contorno que eu usaria são $r_0$ $\delta$

y_{B} (r = r_{0} + δ) = y_{B, b u l k}

$y_B(r= r_0 + \delta)=y_{B,bulk}$

\frac{\partial y_{B}}{\partial r} |_{r = 0} = 0

$\frac{\partial y_B}{\partial r} \bigg|_{r=0}=0$

O primeiro (condição de limite de Dirichlet) é o que você já tem. O segundo (condição de contorno de Neumann) é devido à simetria da partícula esférica.

No entanto, a difusão através da camada limite será uma equação separada da difusão através da esfera. Você precisará definir algum tipo de condição de continuidade para que as duas soluções produzam o mesmo valor de onde elas se cruzam na superfície da esfera. $y_B$

— Carlton
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Neste momento, não preciso necessariamente de valores para y_B dentro da própria esfera. Somente a concentração de superfície é necessária e eu posso usar qualquer forma de obtê-la, e é por isso que pensei em usar a abordagem da camada limite - no final, você tem condições em massa e no início você tem condições de superfície.

— Mierzen

Eu acho que sua segunda condição de contorno está equivocada aqui, já que o domínio para difusão externa não inclui a localização r = 0.

— Salomon Turgman