Por que podemos negligenciar o termo inercial (mas não viscoso) em Navier-Stokes com baixo fluxo e alta viscosidade?

Por que podemos negligenciar o termo inercial (mas não viscoso) em Navier-Stokes com baixo fluxo e alta viscosidade?

Navier-Stokes completo:$\rho \frac{D\vec{v}}{Dt}=\rho g - \nabla P+ \mu \nabla ^2 \vec{v}$

Termo inercial: .$\frac{D\vec{v}}{Dt}= \frac{\partial\vec{v}}{\partial t}+ \frac{\partial\vec{v}}{\partial x}v_x+ \frac{\partial\vec{v}}{\partial y}v_y+ \frac{\partial\vec{v}}{\partial z}v_z$

E como assumimos um fluxo estacionário e uma taxa baixa: . E, portanto, segue-se que o termo inercial pode ser ignorado.$\frac{\partial\vec{v}}{\partial t}=0, \frac{\partial\vec{v}}{\partial x}\approx0, \frac{\partial\vec{v}}{\partial y}\approx0, \frac{\partial\vec{v}}{\partial z}\approx0$

No entanto, no meu material, também é afirmado que o será o termo dominante nessas circunstâncias. Por que não será assim que também? ∇ 2 → v → ∂ 2 → $\mu \nabla ^2 \vec{v}$$\nabla ^2 \vec{v} \rightarrow \frac{\partial^2\vec{v}}{\partial x^2}\approx0, \frac{\partial^2\vec{v}}{\partial y^2}\approx0, \frac{\partial^2\vec{v}}{\partial z^2}\approx0 \rightarrow \mu \nabla ^2 \vec{v} \approx 0$

Geralmente, o que está implícito na baixa vazão e na alta viscosidade é que estamos lidando com o chamado fluxo numérico de Reynolds baixo. O número de Reynolds é um número adimensional, que é a razão das forças inerciais ( ) e da força viscosa ( μ U / L ): R e = ρ U $\rho U U$$\mu U/L$ Por baixoReforças viscosas dominam (regime laminar) e de altaReforças de inércia dominam (regime turbulento). Números sem dimensão comoRemostram-se naturalmente por meio de um processo conhecido como 'escalonamento' em que as equações são feitos não-dimensional; através desse processo, é possível dizer quais termos são desprezíveis com base nos valores de números sem dimensão relevantes. Para mais informações, verifique minha resposta aestapergunta.

Tecnicamente, dizer 'baixo fluxo e alta viscosidade' não é suficiente para dizer que estamos lidando com um baixo fluxo porque também depende da escala de comprimento L (geralmente diâmetro do tubo, etc.) e da densidade ρ (do ar ou da água). ), mas geralmente está implícito que é o caso.$\mathrm{Re}$$L$$\rho$

Agora, dizendo para uma taxa de fluxo baixa que está incorreto; o que você provavelmente quer dizer é que u β ∂ β u α ≪ μ ∂ 2 β u α . Isso justifica a simplificação das equações dizendo que u β ∂ β u α ≈ 0, o que significa fisicamente que termos inerciais são completamente desprezíveis em comparação com termos viscosos. u β ∂ β u α ≈ 0 não implica ∂ β $\partial_\beta u_\alpha \approx 0$$u_\beta\partial_\beta u_\alpha \ll \mu\partial_\beta^2u_\alpha$$u_\beta\partial_\beta u_\alpha\approx 0$$u_\beta\partial_\beta u_\alpha\approx 0$ ao contrário, a baixa vazão implica u β ≈ 0 enquanto ∂ β u α pode ser significativo. Considere a estimativa da ordem de magnitude de ∂ β u α ∼ U / L ; para pequenos valores de L (contribui para baixo R e ), pode ser muito maior que a ordem O ( U ) . Uma análise de ordem de magnitude semelhante dos termos viscosos ∂ 2 β u α ∼ U / L $\partial_\beta u_\alpha \approx 0$$u_\beta\approx0$$\partial_\beta u_\alpha$$\partial_\beta u_\alpha \sim U/L$$L$$\mathrm{Re}$$O(U)$$\partial_\beta^2 u_\alpha \sim U/L^2$mostra que estes serão ainda mais significativos. Portanto, a razão pela qual os termos inerciais são desprezíveis, mas os termos viscosos não.

$\nabla ^2 \vec{v}$$|\vec{v}|$$v$$w$$u$

$u$$\nabla u$$\nabla u$

$\nabla ^2 \vec{v} = \{-|\nabla ^2 u|, 0, 0\}$