Por que Mach 0.3 é o limiar que separa o fluxo compressível e o incompressível?

Eu li que o Mach 0.3 é praticamente o limite superior para tratar o ar como um fluido incompressível. As fontes que li parecem tratar isso como um dado, sem prova ou justificativa.

Por que esse é o limite? Existe uma justificativa matemática para isso? Além disso, esse limite se aplica apenas ao ar? Se não, então do que o limite depende?

fluid-mechanics

— Paulo
fonte

A Wikipedia fornece o motivo do Mach 0.3, devido ao fato de que isso atinge uma variação de ~ 5% na densidade.

Encontrei uma página da NASA que descreve (analiticamente!) O relacionamento. Eu citei a fonte, mas reproduzirei o trabalho aqui para posteridade, caso seus links mudem.

Comece com a conservação do momento:

(ρ V) d V = - d p

$(\rho V) dV = -dp \\$

onde $\rho$ é a densidade do fluido, $V$ é a velocidade $p$ é a pressão. para fluxo isentrópico:

\frac{d p}{p} = γ \frac{d ρ}{ρ} d p = (\frac{γ p}{ρ}) d ρ

$\frac{dp}{p} = \gamma \frac{d\rho}{\rho} \\ dp = \left( \frac{\gamma p}{\rho} \right) d\rho \\$

onde $\gamma$ é a razão de calor específica. A lei do gás ideal fornece:

p = ρ R T

$p = \rho R T \\$

onde $R$ é a constante específica do gás e $T$ é a temperatura absoluta. Então, substituindo:

d p = γ R T d ρ

$dp = \gamma R T d\rho$

A velocidade do som pode ser calculada por:

γ R T = {uma}^{2}

$\gamma R T = a^2 \\$

onde $a$ é a velocidade do som, então:

d p = {uma}^{2} d ρ

$dp = a^2 d\rho \\$

Substituindo a expressão acima na conservação da equação do momento, obtém-se:

(ρ V) d V = - {uma}^{2} d ρ - (\frac{V^{2}}{{uma}^{2}}) d V / V = d ρ / ρ - M^{2} d V / V = d ρ / ρ

$(\rho V)dV = -a^2 d\rho \\ -\left(\frac{V^2}{a^2}\right)dV/V = d\rho/\rho \\ -M^2 dV/V = d\rho/\rho \\$

onde $M$ é o número Mach. Isso fornece um número Mach de 0,3 como sendo aproximadamente uma alteração de 5% na densidade.

Como uma nota, isso é baseado no número Mach, que por sua vez depende da velocidade do som no gás, por isso é ajustado automaticamente por gás.

— Mandril
fonte

@ Paul, isso é derivado da conservação do momento. não é tanto uma "regra" como uma sugestão. se você não se importa com alterações de 10% (ou mais) na densidade (ou em outras quantidades), vá em frente e use as relações incompressíveis para obter números Mach elevados. Se você fazer se preocupam com pequenas mudanças na densidade, em seguida, usar as relações compressíveis até mesmo para baixos números de Mach

— costrom

Não é apenas densidade. Quando não dimensionamos as equações, obtemos grupos sem dimensão. A regra geral é que, se um grupo sem dimensão for menor que 0,1, podemos ignorar os termos relevantes. No caso do número Mach, ele aparece ao quadrado. Então, queremos o (número Mach) ^ 2 <0,1. Isso dá aproximadamente 0,3. Não é apenas a densidade - basicamente todas as coisas que mudam em velocidade mais alta serão afetadas em aproximadamente 10% quando o número de Mach atingir 0,3.

— Joel

@ Joel - Por contexto, o OP estava perguntando especificamente sobre a compressibilidade, e é por isso que essa resposta cobre apenas a densidade.

— Chuck

Eu deixaria mais claro que não é uma linha divisória acentuada. Se você tiver uma tolerância menor a erros, comece a usar a solução compressível com números de mach mais baixos. Se você não se importa tanto, continue assumindo incompressibilidade em números de mach mais altos. 10% é apenas uma escolha arbitrária de quanto erro "realmente importa" e 0,3 cai fora disso matematicamente, mas não menos arbitrariamente.

— hobbs

@chuck - nitpicking aqui, mas tratar algo como um fluido incompressível significa dizer que a divergência do campo de velocidade é 0. Isso afeta muito mais do que apenas a densidade - a tal ponto que quando vou a uma conversa e alguém diz ele está assumindo que é um fluido incompressível, geralmente não é uma afirmação sobre densidade.

— Joel