Relação entre a relação de transmissão e o consumo de energia do motor CC

Atualmente, na minha turma, estamos tentando entender a relação entre a relação de transmissão e o consumo de energia do motor.

Dadas duas marchas, uma acoplada a um motor e a outra acoplada a uma corda que carrega uma massa, estou tentando identificar a relação de marchas que minimiza o consumo de energia do motor, dada a distância vertical percorrida pela massa.

Determinamos analiticamente a constante do motor, a resistência do motor, o raio da engrenagem em torno do motor, a massa a ser levantada e a tensão aplicada ao motor, e o objetivo é usar essas informações para determinar a relação da engrenagem.

Entendo as duas equações relevantes do motor, bem como as várias relações fornecidas pela relação de transmissão, mas não sei por onde começar com esse problema. Se alguém puder dar um empurrão na direção certa, tenho um monte de idéias em minha cabeça e espero levá-lo a partir daí.

As duas equações motoras são:

\begin{aligned} V & = i R + K ω \\ T & = (i - i_{0}) K \end{aligned}

$\begin{align} V &= iR + K\omega \\ T &= \left(i-i_0\right)K \end{align}$

— Austin
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A única coisa que você não mencionou é a rapidez com que deseja que a carga suba. Isso determina a saída de energia necessária e, portanto, a entrada de energia também.

— Dave Tweed

A pergunta não é respondida usando apenas as equações e restrições dadas. No entanto, podemos chegar perto da resposta.

Energia fora do motor

A potência mecânica é calculada por:

P = F v = m g v

$P = Fv = mgv$

$m$ $g$ $v$

$r_b$ $r_2$ $T_2$

T_{2} = m g r_{2}

$T_2 = mgr_2$

$\omega_2$

ω_{2} = \frac{v}{r_{2}}

$\omega_2 = \frac{v}{r_2}$

$r_1$

G = \frac{r_{1}}{r_{2}}

$G = \frac{r_1}{r_2}$

$T = GT_2$ $\omega = \omega_2/G$

P_{o u t} = T ω = G T_{2} \frac{1}{G} ω_{2} = T_{2} ω_{2}

$P_{out} = T\omega = GT_2\frac{1}{G}\omega_2 = T_2\omega_2$

Potência no motor

$V$ $i$

P_{i n} = V i

$P_{in} = Vi$

V = i R + K ω

$V = iR + K\omega$

T = (i - i_{o}) K

$T = (i-i_o)K$

i

$i$

P_{i n} = \frac{(T + K i_{o})^{2}}{K^{2}} (R + \frac{K^{2} ω}{T + K i_{o}})

$P_{in} = \frac{(T+Ki_o)^2}{K^2}\left(R+\frac{K^2\omega}{T+Ki_o}\right)$

$T_2$ $w_2$

P_{i n} = \frac{(G T_{2} + K i_{o})^{2}}{K^{2}} (R + \frac{K^{2} ω_{2}}{G (G T_{2} + K i_{o})})

$P_{in} = \frac{(GT_2+Ki_o)^2}{K^2}\left(R+\frac{K^2\omega_2}{G(GT_2+Ki_o)}\right)$

P_{i n} = \frac{(G T_{2} + K i_{o})^{2}}{K^{2} (G^{2} T_{2} + G K i_{o})} (R + K^{2} ω_{2})

$P_{in} = \frac{(GT_2+Ki_o)^2}{K^2(G^2T_2+GKi_o)}\left(R+K^2\omega_2\right)$

Agora, isso pode ser bastante simplificado, agrupando todos os termos constantes, para que possamos ver qual efeito G tem sobre a potência necessária.

P_{i n} = a_{1} \frac{(G + a_{2})^{2}}{G (G + a_{3})} (G (G + a_{4}) + a_{5})

$P_{in} = a_1\frac{(G+a_2)^2}{G(G+a_3)}(G(G+a_4)+a_5)$

Álgebra excelente, mas o que tudo isso significa?

$G$ $G$ $P_{in}$ $G$ $R$ $K$

— ConjuringFrictionForces
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