O que o Unity diz sobre pontos versus vetores não faz sentido a longo prazo, porque as APIs de geometria apenas escolhem definições distintas para tornar a ferramenta mais acessível, elas não correspondem à forma como essas coisas são conceituadas na geometria. Dê uma olhada nas implementações das classes, se puder. Por ser arbitrário, conhecer sua definição é a única maneira de entender qual é o conceito. Divulgação completa, não tenho experiência com o Unity.
Um vetor é um ponto em um espaço vetorial , em que o conceito de um ponto na geometria é codificado por elementos do conjunto subjacente. Um espaço vetorial tem um vetor distinto, chamado origem ou 0 . Álgebra linear é uma tentativa de codificar um fragmento da geometria euclidiana com uma origem algebricamente.
A flecha e seu comprimento
Os movimentos em um espaço de pontos são freqüentemente interpretados como todas as flechas dos pontos de origem / antes dos pontos de destino / depois.
Uma função de dois argumentos pode ser aplicada a um argumento para produzir a função de um argumento - podemos falar de x +, a função que leva cada vetor y ao vetor x + y . Esta é a tradução associada com a adição de x . As setas associadas vão dos pontos y aos pontos x + y . Veja: aplicação parcial , currying .
Então, por que usamos apenas uma seta ? A seta da origem aponta para um vetor específico, x em x + - a origem é a identidade da adição do vetor. Assim, podemos recuperar a tradução x + apenas de seu valor x +0 = x .
Como representação gráfica do espaço, a representação da seta tem a ver com a nossa capacidade de extrapolar visual ou fisicamente o efeito de uma tradução do valor que a determina. Quando temos essa capacidade?
Dar uma norma ao espaço vetorial, tornando-o um espaço vetorial normalizado, é fornecer uma noção do comprimento de um vetor que faça sentido como sua distância de 0. Além disso, deve ser uma distância que satisfaça a desigualdade do triângulo, que é uma forte restrição de como os comprimentos de dois vetores se relacionam com os de sua soma. De comprimento, podemos definir a distância para fazer deste um espaço métrico , e uma geodésica é um caminho intrinsecamente reto, pois é o mais curto possível. A norma euclidiana induz a distância euclidiana e a geodésica é o segmento de linha das setas, mas se você desenhar as setas como geodésicas usando diferentes normas, você pode extrapolar o efeito geométrico da tradução das geodésicas para aprender sobre a geometria.
O significado de ponto e vetor
Em alguns casos, na geometria de jogos, seu espaço de pontos não é um espaço vetorial . Um espaço afim da dimensão n pode ser incorporado em um espaço projetivo da dimensão n . Mapas afins são reduzidos a projetividades. As projetividades também permitem que você faça FOV, pois acho que não é afim. As projetividades têm benefícios:
O espaço n projetivo sobre um campo pode ser construído a partir do espaço linear ( n +1) (espaço vetorial), tratando os pontos do espaço projetivo como as linhas através da origem do espaço linear. Os planos através da origem, por sua vez, fornecem linhas projetivas. Multiplicar vetores por uma matriz fixa é um mapa linear , é para isso que serve a multiplicação de matrizes. Os mapas lineares preservam a origem e são compatíveis com a incidência. Em particular, se f é um automorfismo linear ( correspondente a uma matriz invertível ( n +1) x ( n +1)), e duas linhas L, M através da origem abrangem um plano A , entãof L, f M são linhas através da origem que mede f A , de modo que f também preservará a incidência no espaço projetivo - uma matriz invertível tem uma projeção associada. A multiplicação de matrizes codifica a composição de mapas lineares e, portanto, das projetividades.
Removendo a origem do espaço linear, todos os pontos em uma determinada linha através da origem são múltiplos escalares um do outro. Explorando esse fato, a homogeneização escolhe um ponto linear para substituir cada ponto projetivo e uma matriz invertível para substituir cada transformação projetiva (como nos mapas afins 2D -> 2D como vídeo 3D -> mapas linear 3D ), maneira que os representantes são fechados sob produtos matriciais e vetor matricial e dão e são dados por coisas projetivas únicas. Esta descrição da construção do plano projetivo a partir do plano linear une algumas coisas.
Portanto, no pipeline da matriz modelo-vista-projeção, estamos usando vetores para representar os pontos do nosso espaço projetivo, mas o espaço projetivo não é um espaço vetorial, e nem todos os vetores no espaço vetorial que estamos usando representam pontos da nossa geometria (veja a figura do plano afim à direita ). Usamos matrizes de tradução em vez de soma vetorial, se queremos traduções. Às vezes, as pessoas chamam vetores de pontos projetivos ou afins, especialmente ao usar uma configuração nesse sentido.