Existe um equivalente em 3D de mapas de blocos hexadecimais?

Provavelmente, a maior vantagem de um mosaico de mapas baseado em hexadecimal versus quadrado é que o centro de cada hexadecimal tem a mesma distância de todos os hexágonos vizinhos. Existe uma forma semelhante que ladrilha dessa maneira em 3D e um mecanismo que suporte esse modelo?

Equipe de tags do Google e da Wikipedia para o resgate:

Mosaico e, mais específico para 3D, Honeycomb é o termo a ser procurado. De fato, os cubos são os únicos poliedros regulares (todas as faces são congruentes) E de preenchimento de espaço (sem lacunas deixadas como na embalagem de esferas) no espaço 3D. Mas eles têm o mesmo problema que os quadrados 2D - distâncias muito variadas para seus vizinhos.

Um favo de mel cúbico, bitruncado, feito de octaedra truncada (bastante bocado) chega muito perto do que eu estava pedindo. As desvantagens são que o octaedro truncado não é regular (quadrados e hexágonos como faces) e tem menos vizinhos que um cubo (14 vs 26), mas preenche o espaço com um único sólido repetido e tem (aproximadamente) distância igual a todos os seus vizinhos.

Os mapas hexagonais 2D são uma representação de esferas empacotadas em uma bandeja plana (2D), com cada hexágono centralizado na esfera equivalente e permitem que as distâncias entre as células sejam determinadas com precisão viável (para fins de jogo de qualquer maneira), apenas contando o número de células hexadecimais pelas quais você pisa.

A representação 3D equivalente é o tratamento cúbico centrado na face (FCC) / embalagem cúbica fechada (CCP) mencionado acima, usando dodecaedro rômbico.

Este artigo da Wikipedia refere-se à FCC / CCP em particular, e este outro artigo o compara ao HCP (Hexagonal Close Packaging), mas o segundo artigo tende a ser um pouco mais matemático.

Eu tenho investigado o uso deles no mapeamento de RPG, mas, embora exista uma 'correção' atraente sobre eles (a base matemática, a capacidade de compactar espaço sem lacunas, a simetria quando as fatias são feitas através da rede etc.), o real os problemas para fins de jogo parecem ser a dificuldade que os jogadores / GMs enfrentariam para visualizá-los e a falta de um sistema de coordenadas óbvio para referenciá-los.

Embora isso me chateie, cubos simples com coordenadas {x, y, z} parecem uma solução muito mais simples, permitindo que todos se concentrem na jogabilidade em vez de ficarem constantemente confusos com a escolha não trivial do padrão de mapeamento.

Apenas meus 2 centavos, embora uma adição muito tardia a esta discussão.

Ah, como um aparte para configurações com temas espaciais, cada célula tem doze células adjacentes (três acima, três abaixo e seis ao redor do avião) e isso permite um elo perfeito entre constelação e astrologia. Imagine um setor doméstico na célula inicial e depois nomeie cada setor adjacente após uma das constelações astrológicas. Assim como os mapas hexadecimais podem ser decompostos em hexágonos menores, as células FCC podem ser decompostas em células menores, permitindo que cada setor nomeado após uma constelação seja decomposto em subsetores. "Vamos definir um curso para o subsetor 031 do setor de Gêmeos" ...

Stuart

Existem dois análogos 3D simples da estrutura hexagonal: Hexagonal Close Packing (HCP) e Cubic Close Packing , também conhecida como treliça cúbica centrada na face (CCP / FCC).

Ambas as redes são bastante semelhantes: elas têm o mesmo número de vizinhos mais próximos por local (12) e a mesma densidade de empacotamento de esferas (~ 74%), e podem ser decompostas em redes hexagonais 2D empilhadas.

Dos dois, eu consideraria a rede do PCC um pouco "mais agradável": é mais simétrica, não tendo eixo preferido como a rede HCP. Em particular, se você se sentasse dentro de uma das células da estrutura do PCC e observasse uma das células vizinhas mais próximas, a estrutura teria a mesma aparência, independentemente de quais células vizinhas você estivesse olhando. Isso não é verdadeiro para a rede HCP.

As células do ladrilho CCP são dodecaedros rômbicos agradáveis ​​e simétricos , enquanto as do HPC são torcidas em dodecaedros trapezo-rômbicos . Aqui está uma foto de alguns dodecaedros rômbicos lado a lado para formar uma treliça do PCC da Wikipedia:

(Foto do usuário da Wikipedia AndrewKepert, licenciado sob GFDL 1.2+ / CC-By-SA 3.0.)

Observe também que, como sugere o nome alternativo "treliça cúbica centralizada na face", existe uma fórmula muito simples para encontrar os centros das células em uma treliça do PCC: comece com uma treliça cúbica simples, com pontos nos cantos dos cubos, e adicione novos pontos no centro das faces dos cubos. Os vizinhos mais próximos dos pontos nos cantos são aqueles nas 12 faces adjacentes, enquanto os vizinhos mais próximos dos pontos nas faces são os 4 nos cantos adjacentes mais os 8 nas faces adjacentes dos dois cubos que compartilham a face na qual o ponto central está. (Com alguma geometria, você pode mostrar que os bairros de todos os pontos de fato parecem iguais, mesmo que essa construção pareça que os "pontos de face" sejam diferentes dos "pontos de canto".)

(Observação: a página do MathWorld a que vinculei acima parece conter um erro, fornecendo a densidade da estrutura relacionada "Malha cúbica centrada no corpo" também como 74% - na verdade, cerca de 68%.)

Concordo com o @Cyclops que isso provavelmente é melhor solicitado na troca de pilhas matemáticas, mas nesse meio tempo você pode querer examinar a estrutura Hexagonal Close Packing . É o arranjo mais denso possível de esferas em 3D e, embora a distância de todos os vizinhos não seja uniforme, pode ser o melhor que você obterá. A estrutura cúbica do diamante tem uma distância igual aos vizinhos diretos, mas é muito frouxa e cada ponto possui apenas quatro pontos adjacentes.