Respostas:
A representação de quatro variáveis de um plano são os coeficientes na igualdade
ax + by + cz = d
Isso pode ser visto como N = ( a , b , c ) sendo um vetor normal ed sendo uma distância da origem das coordenadas (em unidades do comprimento de N ), e também podemos escrever essa equação como N · P = d , onde P = ( x , y , z ).
Essa representação não permite definir uma "origem do plano" específica - os planos matemáticos não têm origem. (Entretanto, acontece que, desde N · P = d , podemos definir P = ( d | N | -2 ) N e obter um ponto específico no plano: o ponto mais próximo da origem do sistema de coordenadas .)
Se você alterar = para <ou>, descreve um "meio espaço", que pode ser usado para coisas como um piso infinito em um mecanismo de física; o meio espaço oposto é obtido negando N e d .
"Normalmente" é uma palavra bastante subjetiva, na minha experiência, há uma maneira diferente de descrever um plano em um espaço 3D que é mais comum devido às propriedades que essas construções mostram.
Sobre sua pergunta, é possível usar 4 valores reais para determinar um plano em um espaço 3D. Como você apontou, a, b, c podem ser os componentes de um vetor que é perpendicular ao plano desejado. Se N = (a, b, c) é o nosso vetor perpendicular, você pode encontrar um ponto em seu plano que é P = d N para alguns d reais e positivos. Aqui você diz que d é a distância da origem no termo de N ; se N é um vetor unitário, d é a distância entre a origem e o seu plano da maneira que o termo "distância" é comumente usado .
Surpreendentemente, você pode definir qualquer possível plano de orientação , pois pode usar valores negativos de d ; fazendo isso, você perde o significado direto de d como distância até colocá-lo em um valor absoluto ( | d | ).
Tanto quanto eu sei, um plano é geralmente definido por uma posição, por nos dizer onde está a origem, e um normal apontando para cima do avião para nos dizer qual orientação temos. É prática comum usar dois vetores para isso.
Com quatro variáveis, você não tem variáveis suficientes para definir um plano que não tem uma origem em (0,0,0) ou que não possui variáveis suficientes para contabilizar todas as rotações.
O mínimo que precisaríamos para um plano no espaço euclidiano 3D com uma origem que não esteja em (0,0,0) e possa ser orientado da maneira que queremos é 5. Imagine a esfera unitária, precisamos de 3 variáveis para definir onde a origem da esfera unitária é (X, Y, Z). Então precisamos de duas variáveis para definir onde está o 'up' do plano. Podemos fazer isso usando o vetor descrito indo da origem da esfera em direção à sua superfície, dada a latitude e longitude.
Como você reconstruiria um plano com apenas quatro variáveis, não sei. Talvez você esteja trabalhando em um domínio estreito (o plano está sempre em (0,0,0) e as quatro variáveis são um quaternion?) Ou as variáveis não são escalares? Em que contexto você está usando isso a, b, c, d?