Conversão de densidade de campo de fluxo

Estou tentando implementar a navegação de campo de fluxo, conforme descrito em http://grail.cs.washington.edu/projects/crowd-flows/, mas não consigo entender como a Função de Densidade na Figura 4 do artigo deve lidar raio unitário.

Alguém já implementou isso e pode fornecer mais informações?

Esta é a parte em questão:

O algoritmo deles parece estar usando apenas 4 células, apontando para o canto inferior esquerdo da unidade, então isso é algum tipo de kernel que precisa ser aplicado várias vezes?

Obrigado.

Não, não é um "kernel que precisa ser aplicado várias vezes". Você acabou de aplicar as fórmulas como escritas, uma vez.

É uma regra meio estranha, porém, e não muito claramente descrita. Deixe-me tentar esclarecer um pouco:

• Primeiro, encontre as quatro células cujo canto compartilhado é o mais próximo da unidade. A unidade contribuirá com uma quantidade diferente de zero de densidade apenas para essas células. Chame essas células de A, B, C e D como na figura 4 (b).

• Seja Δx e Δy a distância horizontal e vertical da unidade do centro da célula A, medida em unidades de uma largura / altura da célula.

• Seja ρ _A = min (1 − Δx, 1 − Δy) ^λ , ρ _B = min (Δx, 1 − Δy) ^λ , ρ _C = min (Δx, Δy) ^λ e ρ _D = min (1 − Δx, Δy ) ^λ , conforme descrito no artigo.

• Deixe a unidade contribuir com densidade ρ _A para a célula A, densidade ρ _B para célula B, densidade ρ _C para célula C e densidade ρ _D para a célula D.

Como eu disse, a regra é meio estranha e não tenho uma interpretação geométrica óbvia para oferecer. Porém, satisfaz as propriedades esperadas que:

• Quando a unidade está exatamente no meio de qualquer célula X, então (independentemente de qual de A, B, C ou D escolhemos X), ela contribui com 1 ^λ = 1 unidade de densidade para a célula X e 0 unidades de densidade para qualquer outra célula.

• Quando a unidade está exatamente no canto de quatro células, contribui (1/2) ^λ unidades de densidade para cada uma das quatro células (e nada para qualquer outra célula, por definição).

No entanto, observe que, usando esta regra, a quantidade total de densidade contribuída por uma unidade para todas as células não é constante, nem mesmo se λ = 1. Em particular, quando a unidade está exatamente no ponto médio da borda entre duas células, contribui (1/2) ^λ unidades de densidade para essas duas células e nada para qualquer outra célula. Assim, chamar o valor resultante de "densidade" parece um pouco enganador.

Edit: Outra maneira de escrever as fórmulas para ρ _A , ρ _B , ρ _C e ρ _D , que podem tornar a simetria das definições mais aparente, é definir d _X = max (| x - x _X |, | y - y _X |) como a distância do tabuleiro de xadrez da unidade em (x, y) do centro da célula X em (x _X , y _X ), medida em larguras / alturas da célula. Então, para qualquer célula X,

• ρ _X = 0 se d _X ≥ 1 e
• ρ _X = (1 - d _X ) ^λ caso contrário.