Bem, no meu caso, antes de ser aceito na Digital Media, tive que apresentar uma pasta de vários projetos 2D e 3D. Portanto, é imperativo que você tente fazer parte desse treinamento formal, o que não é difícil.
Realmente depende do que você está procurando. Arte vetorial e raster são dois grandes campos para trabalhar, por isso recomendo programas como o InkScape (Adobe illustrator) ou o Gimp 2.0 (Photoshop).
Para fazer design gráfico, você realmente precisa conhecer arte. A melhor maneira de fazer arte é olhar a arte de outras pessoas para criar um gosto pessoal (www.conceptart.org) / (www.deviantart.com) e depois faça você mesmo! Estude muito da vida real e dos modelos para que, quando você realmente faça as coisas de forma digital e de forma livre, tenha algum conhecimento.
Se você quiser aprender photoshop, há muitos sites para fazer isso. Os tutoriais no DeviantArt são provavelmente a fonte mais comum, mas eu também recomendaria:
http://www.photoshoplady.com/
http://www.1stwebdesigner.com/design/30-useful-sites-where-to-submit-your-tutorials/
O segundo link é um monte de links para tutoriais de photoshop. Você definitivamente descobrirá como usar técnicas de photoshop e bacana com elas!
Alguns bons aplicativos 3D (gratuitos) seriam o Blender e o Google SketchUp; este último foi usado para criar meu modelo 3D para a entrada da faculdade. Eu não tinha usado antes, mas achei que era intuitivo e fácil de aprender.
Estes são os princípios. Você sempre pode se dedicar ao design gráfico de jogos depois de receber algum treinamento formal. Existem muitos editores de pixels, se esse é o seu tipo de coisa. Se você tentar entrar no design gráfico de jogo de forma livre sem nenhum tipo de treinamento, provavelmente produzirá resultados abaixo da média que simplesmente desmotivam você até que você não queira mais fazer isso.
Claro, você pode ser teimoso e tentar fazê-lo de qualquer maneira. Boa sorte em qualquer caso ^^