Isso não é tão antiquado: lembro de ter resolvido exatamente esse problema nos anos 80, quando não tínhamos scanners prontamente disponíveis e tivemos que levantar coordenadas e elevações de mapas impressos em grande formato para análise geoestatística.
Com efeito, você já pode ler a longitude com precisão ao longo de qualquer linha de longitude no mapa. Você deseja interpolar essas medidas para quatro pontos específicos (os cantos). O mesmo vale para a latitude. Portanto, esse problema é um caso especial de interpolação entre contornos em qualquer mapa de contorno . Portanto, você não precisa saber nada sobre a projeção ou dado para fazê-lo.
Como isso deve ser feito de maneira simples, não podemos explorar facilmente o fato de termos contornos completos. Basta identificar alguns pontos distintos ao longo de cada contorno e usá-los. Isso torna o problema equivalente ao seguinte:
Dada uma coleção de pontos no mapa, cada um rotulado com um valor numérico (com variação suave), para estimar o valor em outro ponto especificado no mapa.
Para resolver isso, precisamos estabelecer um sistema de coordenadas para o próprio mapa. A escolha não importa, desde que as isolinhas de coordenadas sejam espaçadas igualmente (elas nem precisam ser mutuamente perpendiculares!) Uma maneira simples de fazer isso é usar a régua para medir distâncias da borda esquerda (x) e borda inferior (y) do mapa. (Se você tiver uma imagem digitalizada, use os índices de linha e coluna dos pixels.)
A interpolação pode ser realizada ajustando uma tendência aos dados.
Sabemos, apenas olhando o mapa (ou seja, observando os espaçamentos locais regulares dos contornos), que um estimador linear funcionará razoavelmente bem e um estimador quadrático funcionará ainda melhor. Provavelmente é um exagero (e muito trabalho) usar qualquer estimador de ordem superior. Um estimador quadrático requer pelo menos seis pontos de controle. Use uma coleção de pontos agrupados perto do ponto de estimativa: isso garantirá alta precisão. Use mais que o mínimo: isso fornece verificações cruzadas úteis e pode até gerar estimativas de erro.
Isso resulta no seguinte procedimento , a ser feito para a latitude e repetido para cada ponto de canto e depois repetido novamente para a longitude:
Marque mais de seis pontos nas linhas de contorno relevantes nas proximidades de um ponto de canto. Use vários níveis de contorno diferentes.
Meça (x, y) nos pontos marcados e no ponto de canto.
Registre (x, y, valor dependente) em cada ponto marcado.
Calcule o ajuste dos mínimos quadrados dos dados usando o modelo:
(lat or lon) = a + b*x + c*y + d*x*x + e*x*y + f*y*y + error
Aplique o modelo ajustado ao valor (x, y) do ponto de canto.
As pessoas estão computando ajustes de mínimos quadrados por muito mais tempo do que as calculadoras mecânicas disponíveis. Se você realmente não tem um computador ou calculadora disponível, aceite uma tendência linear e, para os cálculos (fáceis), consulte qualquer livro sobre regressão publicado antes de 1970. Caso contrário, você pode fazer o ajuste com uma calculadora gráfica, uma planilha, ou (melhor e mais fácil) qualquer pacote estatístico completo. Este último poderá fornecer um intervalo de previsão para avaliar a incerteza nas estimativas.
Por exemplo , apliquei este procedimento duas vezes para encontrar (lat, lon) no canto superior esquerdo usando os pontos marcados (vermelho para longitude, azul para latitude, amarelo para o canto):
Usando nomes de variáveis óbvios, obtive os valores previstos com dois comandos Stata 11 para cada cálculo:
regress lat x y c.x#c.y c.x#c.x c.y#c.y if lat!=0
predict lathat
regress lon x y c.x#c.y c.x#c.x c.y#c.y if lon!=0
predict lonhat
A estimativa (lat, lon) do ponto de canto é (61,05, -136,80). O erro estimado é surpreendentemente grande (cerca de 0,04 graus), cerca do dobro do que eu esperaria da resolução da imagem na tela. Essas linhas de contorno podem não ser colocadas com muita precisão.
