Por que o posicionamento GPS requer quatro satélites?

Eu tenho uma pergunta sobre o algoritmo de posicionamento GPS. Em todos os livros que li sobre posicionamento 3D, precisamos de quatro satélites e não entendo o porquê.

Precisamos calcular três variáveis: x, y, z. Sabemos quando o satélite envia o sinal para a terra e, quando o recebemos, podemos medir o tempo que o sinal viaja para a terra, verificando a mudança no gerador de PRN. Para que finalidade precisamos de quatro satélites?

Apenas um gráfico para adicionar à resposta de M'vy .

No Geocommon s:

Isto é uma versão de alta tecnologia da triangulação,chamado trilateração. O primeiro satélite o localiza em algum lugar de uma esfera (canto superior esquerdo da Figura). O segundo satélite restringe sua localização a um círculo criado pela interseção das duas esferas de satélite (canto superior direito). O terceiro satélite reduz a escolha para dois pontos possíveis (canto inferior esquerdo). Por fim, o quarto satélite ajuda a calcular uma correção de tempo e localização e seleciona um dos dois pontos restantes como sua posição (canto inferior direito).

Atualizar

Como RK aponta, isso não é uma forma de triangulação. Mesmo quando o GPS está aproveitando mais de 4 satélites, ele ainda faz trilateração , em oposição à multilateração , que o GPS não usa.

A multilateração não deve ser confundida com a trilateração, que usa distâncias ou medidas absolutas do tempo de vôo de três ou mais locais , ou com triangulação, que usa a medição de ângulos absolutos. Ambos os sistemas também são comumente usados ​​com sistemas de radionavegação; trilateração é a base do GPS.

As principais razões pelas quais você precisa de um quarto satélite são as correções de tempo. Se você souber a posição exata e a velocidade dos satélites, a trilateração fornecerá 2 pontos, mas um será geralmente impossível ou com uma velocidade impossível. Mas um receptor de GPS usa o tempo necessário para receber um sinal de satélite para determinar a distância desse satélite. Mesmo pequenos erros no tempo do seu receptor GPS causarão erros enormes e, portanto, uma grande faixa de incerteza quando você tiver apenas três satélites.

Você precisa de quatro satélites porque cada dado de um satélite coloca você em uma esfera ao redor do satélite. Ao calcular as interseções, você pode restringir as possibilidades a um único ponto.

O cruzamento de dois satélites coloca você em um círculo. (todos os pontos possíveis)

O cruzamento de três satélites coloca você em dois pontos possíveis.

O último satélite fornece a localização exata.

Você pode evitar o uso de quatro satélites se já conhece a altitude; por exemplo, ao dirigir, você pode usar o nível do solo como o último cruzamento. Mas você não pode fazer isso em um avião, pois não está preso ao chão.

Você realmente precisa determinar quatro coordenadas dos satélites, x, y, z e t, a hora.

Você não pode usar o relógio dentro do dispositivo, porque é muito impreciso. Ele é gerado por um cristal de quartzo, enquanto para a precisão desejada de alguns metros você precisaria de um relógio atômico, como os usados ​​nos satélites.

>> 3 satélites seriam suficientes

Os sistemas de posicionamento global assumem um 'sistema de coordenadas cartesianas 3D xyz, centrado na terra, fixo à terra' . Qualquer localização neste espaço 3D exige que não mais que 3 componentes sejam completamente identificados. Portanto, embora três esferas que obtemos por três medições de distância se cruzem em dois pontos diferentes, um desses pontos é inutilizado pela característica [ centralizada na terra + fixa na terra ] do sistema de coordenadas que o GPS assume; estamos interessados ​​em locais abaixo da atmosfera da Terra. Três satélites podem ser usados ​​para determinar as dimensões de três posições com um relógio receptor 'perfeito' (com um relógio atômico / óptico caro).

! SIM !, você! Poderia ter conseguido! uma correção de posição 3D com 3 satélites SE o receptor GPS que você está usando estiver equipado com um relógio atômico. (A ELIMINAÇÃO do segundo ponto, na figura inferior esquerda da ilustração acima, é feita "intuitivamente", pois corresponde a algum lugar do ESPAÇO PROFUNDO. PORQUE , há uma razão pela qual os satélites GPS estão em sua constelação específica (~ sua configuração no céu): mais de 24 satélites GPS, em 6 planos orbitais a aproximadamente 20.000 km acima de você, e 4 satélites em cada plano, 60 graus entre esses planos e 55 graus de inclinação em relação ao plano equatorial. 5-8 satélites que você pode "se conectam a" a partir de (quase) qualquer lugar do mundo, e 3 satélites para definir uma posicional 3D CORRECÇÃO nA tERRA. Se estamos falando sobre a localização de coisas "dentro e fora" da Terra, bem então, você precisa de pelo menos mais 1 satélite para eliminar um dos dois possíveis pontos de interseção na última etapa. Esta não era a questão, era?

Na prática, a colocação de relógios caros em receptores GPS raramente é possível / possível e três veículos espaciais (SVs, ou seja, satélites) podem ser usados ​​para calcular uma correção horizontal 2D (em latitude e longitude) quando uma certa altura (por exemplo, z -dimensão) a medição é ASSUMIDA; para que você se livre das medidas unidimensionais das 4 originalmente necessárias. A altura presumida pode ser o nível do mar ou a altitude de uma aeronave (normalmente) equipada com altímetro.

É a dimensão da altura que é escolhida para ser descartada, porque é a (relativamente) menos importante entre outras. Entre as quatro medidas dimensionais necessárias (x, y, z, tempo), o tempo sempre precisa ser resolvido PORQUE os sinais de satélite (ondas eletromagnéticas) viajam na velocidade da luz e atingem o receptor em ~ 0,07 segundos atômicos; e, portanto, uma leve imprecisão no relógio interno relativamente barato do receptor GPS daria uma correção local "muito errada" devido à distância extra que se supõe que o sinal percorra na velocidade extrema da luz. E, bem, as outras duas dimensões colocarão o receptor GPS em algum par (longitude, latitude) na superfície do planeta.

Mais de 4 satélites fornecem melhor precisão com a introdução de 'pares de diferença horária' adicionais. Os requisitos quadridimensionais permanecem, mas o número de equações independentes aumenta e excede 4. Isso resultará em um sistema de equações sobredeterminado com várias soluções. Sistemas determinados são aproximados! com métodos numéricos, por exemplo, mínimos quadrados. Nesse caso, o método dos mínimos quadrados fornecerá a posição (do receptor GPS) que melhor se ajusta a todas as medições de tempo (com dimensões extras), minimizando a soma dos quadrados dos erros.

(1) Visão geral do sistema de posicionamento global, Peter H. Dana, Departamento de Geografia, Universidade do Texas em Austin, 1994.
http://www.colorado.edu/geography/gcraft/notes/gps/gps_f.html
(The Master GPS Instalação de controle está localizada no Colorado, Schriever Air Force Base)

(2) Determinação da posição com GPS, Dr. Anja Koehne, Michael Wößner, Öko-Institut (Instituto de Ecologia Aplicada), Freiburg im Breisgau, Alemanha
http://www.kowoma.de/en/gps/positioning.htm

(3) Um sistema linear sub-determinado para GPS, Dan Kalman
https://www.maa.org/sites/default/files/pdf/upload_library/22/Polya/Kalman.pdf

(4) Para as ilustrações coloridas
http://www.colorado.edu/geography/gcraft/notes/gps/gif/figure09.gif
http://www.colorado.edu/geography/gcraft/notes/gps/gif/ ecefxyz.gif
http://www.colorado.edu/geography/gcraft/notes/gps/gif/gpsxyz.gif
http://www.colorado.edu/geography/gcraft/notes/gps/gif/navigate.gif

>> IMPRECISÃO

" Normalmente, as superfícies de quatro esferas NÃO se cruzam. Por isso, podemos dizer com confiança que, quando resolvemos as equações de navegação para encontrar uma interseção, essa solução nos fornece a posição do receptor junto com o tempo exato, eliminando assim a necessidade de uma grande , caro e com muita energia " .
http://en.wikipedia.org/wiki/Global_Positioning_System#Basic_concept_of_GPS

Diz "tipicamente" PORQUE as medições são imprecisas; caso contrário, eles se cruzariam exatamente em um ponto. Dos 4 satélites, você obtém 4 medições de distância imprecisas. A imprecisão em todas essas quatro medições é MESMA (= na mesma quantidade) PORQUE os satélites usam relógios atômicos que os mantêm perfeitamente sincronizados entre si (e precisos em relação à escala de tempo do GPS). Além disso, o relógio INaccurate nas medições também permanece o mesmo , porque estamos falando de um receptor GPS em particular. Como relógios precisos e imprecisos, e portanto a imprecisão, são constantes em nossas medições, pode haver apenas um valor de correção que reduz o volume de interseção de 4 esferas em um único ponto de interseção. Esse valor representa o tempo de imprecisão.

(5) O relógio UTC está atualmente (14/11/2012) 16 segundos atrás do relógio GPS.
http://www.leapsecond.com/java/gpsclock.htm

(6) Como um receptor de GPS é bloqueado, Thomas A. Clark, Centro de Vôo Espacial Goddard da NASA
http://gpsinformation.net/main/gpslock.htm

(7) Quão preciso é um relógio controlado por rádio ?, Michael A Lombardi, Divisão de Hora e Frequência do NIST, Maryland
http://tf.nist.gov/general/pdf/2429.pdf

O quarto satélite existe apenas para aumentar a precisão até um ponto em que seria utilizável. Embora, com a Trilateração em 3D, isso não seja necessário para calcular um local. O GPS, no entanto, exige isso devido ao problema de precisão.

Recursos:
Trilateração em 3D
Trilateração
GPS

Toda essa conversa sobre "esferas que se cruzam" não pode ser verdadeira. Aqui está o porquê.

1. Quando você recebe o sinal de um satélite, sabe onde está, porque essa informação foi transmitida na mensagem e também precisamente a que horas foi enviada. No sistema GPS, todos os relógios atômicos são mantidos sincronizados por meio de sinais de controle do solo, com uma precisão de mais de 3 nanossegundos negativos. Mas você não pode calcular SUA distância do satélite e, portanto, da esfera, porque a hora local não é a mesma. Se a hora local estiver fora de sincronia com a hora do satélite em apenas 1 milissegundo, porque a luz viaja a 299.792.458 metros por segundo, isso significa um erro de distância de cerca de 300 quilômetros!
2. Com dois satélites, você pode calcular a distância RELATIVA dos dois satélites calculando as diferenças entre os tempos de transmissão das duas mensagens e a hora local. Assim, você pode traçar sua posição ao longo de um hiperboloide em três dimensões . A superfície do hiperbolóide descreve todas as posições no espaço em que as duas diferenças de tempo fazem sentido e onde você pode estar.
3. Com três satélites, você pode calcular DOIS hiperbolóides. Sua interseção é uma hipérbole. Você pode estar em qualquer lugar.
4. Com quatro satélites, você pode calcular a interseção de TRÊS hiperbolóides e derivar sua posição no espaço, descontando os efeitos do atraso atmosférico.

Para considerar o atraso atmosférico, você precisa comparar os atrasos de dois sinais enviados em frequências diferentes do mesmo satélite ou comparar as leituras do mesmo sinal vistas de dois locais diferentes ("GPS diferencial"). Os modernos sistemas GPS correlacionam os dois sinais militares criptografados nas frequências L1 e L2 para obter essas informações.

Algumas das respostas são próximas, mas não totalmente claras.

Enquanto eu fazia parte de uma equipe de três homens que passou 2 anos no início dos anos 90 desenvolvendo as primeiras estações GPS diferenciais não militares no sudoeste da Inglaterra, nos deparamos com algumas perguntas extraordinárias. 3 ou 4 sendo um deles.

Para explicar isso, é melhor começar com um sistema de radionavegação terrestre. Pegue um sinal de um ponto conhecido fixo (Estação 1) na praia e envie-o para um navio no mar. O navio sabe há quanto tempo o feixe está viajando e a localização exata da Estação 1 - sabe disso porque o tempo que o feixe deixou o ponto fixo está impresso no sinal transmitido - por exemplo (iniciado em 'segundos e foi recebido em segundos B) - portanto, dada a velocidade da luz (C) das ondas de rádio, o navio deve ser (BA) XC a partir da Estação 1 - esta resposta é Alcance1.

Pegue outro ponto conhecido Station2 a partir do qual iniciou um sinal ao mesmo tempo 'A'seconds - mas Station2 está em um ponto conhecido diferente que fornece Range2. No Range2, você sabe que seu navio está ao longo do Range1.

Faça o mesmo com uma 3ª estação e você obterá um cruzamento de todas as 3 faixas. Mas eles não se cruzam perfeitamente ... nunca!

Isso ocorre devido a atrasos atmosféricos, interferências e propagação que afetam todas as ondas de rádio. As interseções dos três intervalos dão a você um triângulo de erro (daí a triangulação) em um plano bidimensional (X e Y - LAT AND LON ou Norte e Leste). Agora, para obter sua elevação (H), você precisa de um quarto alcance (você adivinhou - alcance4), que fornecerá uma localização tridimensional - XY e Z - LAT LON e altura.

Agora pegue todas as suas estações e cole-as no espaço como GPS e sua nave está posicionada em algum lugar dentro de um triângulo de erro 3D de 4 lados, que é ligeiramente curvado em todos os lados.

A resposta está aqui: (em 2D, você precisa de 2 hipérbole (3 satélites); em 3D, você precisa de 3 hipérbole (4 satélites). Desmond Schmidt está certo)

http://hayabusa.slovakforum.net/t263-topic#2570

... desculpe, está no idioma eslovaco (meu inglês é ruim), mas fotos e pouco cálculo explicam tudo, e você pode usar o tradutor do Google.