Mapa unidimensional do mundo?

Uma pergunta estranha, mas espero que seja correto perguntar aqui.

Alguém já ouviu falar de uma projeção "unidimensional" do mapa do mundo - que está mapeando todos os pontos do globo em uma única linha?

Eu estava pensando em fazer uma coisa dessas - tentando manter as cidades 'próximas' do mundo 'próximas' da linha.

Antes de fazer isso, perguntei-me qual seria o estado da arte nessa área.

Uma técnica geral para mapear uma coleção de pontos (para as quais as distâncias são dadas) em um espaço euclidiano (como três espaços, um plano ou até uma linha) com distorção mínima das distâncias é chamada de Escala Multidimensional (MDS). Existem vários algoritmos. As soluções estão disponíveis gratuitamente no R e geralmente são fornecidas com pacotes de estatísticas comerciais.

As 20 maiores cidades dos EUA são mapeadas aqui com as configurações MDS padrão do Stata 11. Os carrapatos indicam intervalos de 100 km.

Muito obrigado a @whuber pela resposta inicial. pensei que eu deveria enviar os resultados de mim fazendo o mesmo ...

Quanto vale a forma particular de MDS que eu usei é algo chamado t-SNE (também conhecido como 'stochastic Neihbor Embedding' ) para obter as seguintes imagens.

Aqui está uma imagem de todas as cidades em ordem - no eixo esquerdo é o local 1-d real dessa cidade e as cidades organizadas em ordem de cima para baixo, da esquerda para a direita nesse eixo. Color = country

Aqui está outra foto em que eu peguei a linha das cidades, mas a plotei no mapa do mundo. Acho que esse problema se reduz a algo bem próximo do problema do vendedor ambulante - mas com a diferença de que não é apenas uma ordenação de cidades, mas um mapeamento de cidades para uma linha 1-d ...

Se alguém quiser usar todos os dados ou metodologia de saída aqui, envie uma mensagem.

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EDITAR:

Em resposta ao comentário do @ whuber ..

Sim, você está certo ao enfatizar a distância local (ou seja, as distâncias locais de vizinhos imediatos devem estar o mais próximo possível das distâncias reais no mapa do mundo). O problema do MDS se reduz ao problema do vendedor ambulante. No entanto, se você enfatizar a otimização (ou correspondência) de distâncias em um intervalo mais amplo / moderado, poderá obter resultados diferentes. Por exemplo, aqui está o que o algoritmo t-sne fornece quando você usa um valor mais alto para 'perplexidade':

O que você pode fazer é cobrir seu espaço em 2-d com uma curva de preenchimento de 1-d, como uma curva de Peano ou Curva de Hilbert. Em seguida, você mapeia seus pontos no ponto mais próximo da curva. Desembrulhe a curva e, em certa medida, você deverá obter uma linha com as cidades mais próximas no espaço mais próximo da linha.

Não é perfeito (acho que nada pode ser), mas já o vi como base para um algoritmo de pessoa que viaja a viajar - a ideia é que, se você estiver viajando com um vendedor ao longo da linha, será uma boa aproximação a a melhor solução.

Perguntas estranhas costumam ser as mais interessantes!

Se você está procurando um estado da arte na maneira como as dimensões são usadas na cartografia, você pode começar com a semiologia gráfica de Bertin . De acordo com Bertin, um pedaço de papel (ou uma superfície para ipad) possui três dimensões: as duas dimensões planas, mais o valor / textura. A semiologia gráfica fornece regras para mapear as dimensões de informações para essas dimensões de representação. Quando as duas dimensões planares são as dimensões espaciais, o gráfico é um mapa e a terceira dimensão é usada para a informação representar.

Se você deseja criar um mapa unidimensional, significa que você decide restringir a não utilização de uma das dimensões do papel para representar as informações que deseja (a proximidade entre as cidades). É realmente necessário impor tal restrição e não fazer um mapa normal?

Se for realmente necessário, como dito em outras respostas, não poderá ser feito! A relação de proximidade entre cidades não pode ser representada em uma dimensão. Para isso, você pode:

• Use uma "abordagem centrada no usuário": se o público do mapa estiver localizado em algum lugar ou se houver um local específico para focar, esse local poderá ser considerado uma origem e todas as outras cidades poderão ser classificadas de acordo com a distância até essa origem.
• Classifique as cidades não apenas de acordo com a distância relativa, mas de acordo com outros critérios de similaridade (população, continente, número de carros por habitante etc.). Então, alguns tratamentos estatísticos, como a análise de componentes principais, poderiam fornecer uma única linha de dimensão em que as cidades poderiam ser classificadas.

trying to keep cities that are 'close' on the globe 'close' on the line

Imagine três cidades à mesma distância uma da outra, por exemplo, nos vértices de um triângulo equilátero. Como você representaria isso em uma linha? Algumas informações serão perdidas.

Você descarta uma dimensão completamente, por exemplo, projetando todas as cidades em paralelo ou em um meridiano (a última seria interessante porque não estamos acostumados a comparar a posição relativa norte / sul das cidades entre países diferentes) ou você seleciona uma específica medida dimensional, por exemplo, "distância de Nova York".

A curva Peano sugerida por Spacedman é muito interessante e resultaria em um mapa original, mas as cidades próximas podem acabar muito longe nessa curva.

Eu nunca o usei, mas acho que um GeoHash pode funcionar para isso.

As geohashes oferecem propriedades como precisão arbitrária e a possibilidade de remover gradualmente caracteres do final do código para reduzir seu tamanho (e gradualmente perder a precisão).

Como conseqüência da degradação gradual da precisão, locais próximos frequentemente (mas nem sempre) apresentam prefixos semelhantes. Por outro lado, quanto maior o prefixo compartilhado, mais próximos os dois lugares.