Medição da retidão de um segmento de curva (representado como uma polilinha)

Estou trabalhando em um algoritmo de rotulagem de contorno de elevação automática e um dos fatores que quero levar em consideração ao decidir as posições das etiquetas é quão "reto" é um segmento específico de um contorno. Quanto mais reta, maior a probabilidade de ser usada para colocar a etiqueta nesse segmento.

Cada contorno é representado por uma polilinha (mas com pontos próximos um do outro para parecer uma curva a olho nu). Em seguida, tenho um comprimento fixo (largura de um rótulo), digamos, 100 pixels. Se eu escolher aleatoriamente (ou não) um segmento de contorno com a largura de 100 pixels, desejo obter um valor quantitativo numérico de sua retidão (digamos zero para um segmento de contorno totalmente reto, algum valor maior que zero para um não segmento tão reto, e esse valor aumenta à medida que a curvatura aumenta).

Procurei por respostas, mas não encontrei nada realmente útil. Eu ficaria grato por qualquer indicação.

A resposta depende do contexto : se você estiver investigando apenas um pequeno número (limitado) de segmentos, poderá conseguir uma solução computacionalmente cara. No entanto, parece provável que você queira incorporar esse cálculo a algum tipo de pesquisa de bons pontos de etiqueta. Nesse caso, é de grande vantagem ter uma solução que seja computacionalmente rápida ou permita atualização rápida de uma solução quando o segmento de linha candidato varia ligeiramente.

Por exemplo, suponha que você pretenda realizar uma pesquisa sistemáticaatravés de todo um componente conectado de um contorno, representado como uma sequência dos pontos P (0), P (1), ..., P (n). Isso seria feito inicializando um ponteiro (índice na sequência) s = 0 ("s" para "start") e outro ponteiro f (para "finish") para ser o menor índice para o qual a distância (P (f), P (s))> = 100 e, em seguida, avançando s pela distância (P (f), P (s + 1))> = 100. Isso produz uma polilinha candidata (P (s), P (s + 1) ..., P (f-1), P (f)) para avaliação. Depois de avaliar sua "adequação" para suportar um rótulo, você aumentaria s em 1 (s = s + 1) e aumentaria f para (digamos) f 'es para s' até que uma polilinha candidata exceda o mínimo é produzido um intervalo de 100, representado como (P (s '), ... P (f), P (f + 1), ..., P (f')). Ao fazer isso, os vértices P (s) ... P (s ' É altamente desejável que a aptidão possa ser rapidamente atualizada a partir do conhecimento apenas dos vértices descartados e adicionados. (Esse procedimento de digitalização continuará até s = n; como sempre, f deve ter permissão para "contornar" de n de volta a 0 no processo.)

Essa consideração exclui muitas medidas possíveis de adequação ( sinuosidade , tortuosidade etc.) que, de outra forma, poderiam ser atraentes. Isso nos leva a favorecer medidas baseadas em L2 , porque elas geralmente podem ser atualizadas rapidamente quando os dados subjacentes mudam ligeiramente. Fazer uma analogia com a análise de componentes principais sugere que adotarmos a seguinte medida (onde menor é melhor, conforme solicitado): use o menor dos dois valores próprios da matriz de covariânciadas coordenadas do ponto. Geometricamente, essa é uma medida do desvio "típico" de um lado para o outro dos vértices na seção candidata da polilinha. (Uma interpretação é que sua raiz quadrada é o semi-eixo menor da elipse, representando os segundos momentos de inércia dos vértices da polilinha.) Será igual a zero apenas para conjuntos de vértices colineares; caso contrário, excederá zero. Ele mede um desvio médio de um lado para o outro em relação à linha de base de 100 pixels criada pelo início e pelo final de uma polilinha e, portanto, possui uma interpretação simples.

Como a matriz de covariância é de apenas 2 por 2, os valores próprios são rapidamente encontrados através da resolução de uma única equação quadrática. Além disso, a matriz de covariância é uma soma das contribuições de cada um dos vértices de uma polilinha. Assim, ele é atualizado rapidamente quando pontos são eliminados ou adicionados, levando a um algoritmo O (n) para um contorno de n pontos: ele será bem dimensionado para os contornos altamente detalhados previstos no aplicativo.

Aqui está um exemplo do resultado desse algoritmo. Os pontos pretos são vértices de um contorno. A linha vermelha sólida é o melhor segmento de polilinha candidato de comprimento de ponta a ponta maior que 100 nesse contorno. (O candidato visualmente óbvio no canto superior direito não é suficientemente longo.)

Na comunidade de computação gráfica, muitas vezes é necessário encontrar uma caixa delimitadora em torno de um objeto. Consequentemente, esse é um problema bem estudado, com algoritmos rápidos. Por exemplo, consulte o artigo Algoritmos da caixa delimitadora da Wikipedia . Você pode encontrar o retângulo de área mínima ao redor da polilinha e usar a proporção, altura / comprimento do retângulo. Para obter uma medida mais precisa, você pode observar o desvio da polilinha da linha central desse retângulo delimitador.

Não sei se isso ajuda, ou mesmo se conta como resposta, mas como eu estava sentado aqui pensando na pergunta que acabei de postar, pensei:

E se você colocar um círculo de um raio específico na sua linha de contorno. Esse círculo cruzará a linha de contorno em pelo menos dois lugares. Quanto mais reta a linha, menor a distância ao longo da linha de contorno entre os dois pontos de interseção. Quanto maior a distância ao longo da linha de contorno entre os pontos de interseção, mais curva é a linha. Se houver mais de dois pontos de interseção, a linha de contorno é muito curvilínea.

Você pode descobrir qual comprimento daria o melhor indicador de retidão e configurar uma rotina para percorrer cada linha de contorno e, onde ela era reta o suficiente, colocar o rótulo.

Tenho certeza de que isso não ajuda muito, e o que digo em inglês é muito mais difícil em qualquer linguagem de programação que você esteja usando, mas pode ser um começo?

A abordagem mais fácil que consigo pensar é a relação entre o comprimento real do caminho entre o início e o fim e a distância mais curta (linha reta) do início ao ponto final. Linhas retas terão proporções próximas de uma, enquanto linhas muito curvas terão uma proporção muito alta.

Essa deve ser uma solução realmente fácil de implementar.

Atualização: Como Mike percebeu corretamente, isso seria igual ao Sinuosity .

Ao pesquisar "curvatura" e "polilinha", obtive essas informações. Como posso encontrar a curvatura de uma polilinha? . Lá, ele sugeriu o uso de voltar à definição de curvatura - K= DF/Ds. Aqui, Fele quer dizer phi, ou Tna notação da wikipedia aqui ( http://en.wikipedia.org/wiki/Curvature ).

Digamos que você tenha uma sequência de três pontos, p0, p1 e p2. calcule a distância sentre p0 e p1, que é delta de s ( Ds), assumindo que os pontos estejam próximos o suficiente. Então você precisa delta de T ( DT), que é a mudança no vetor tangencial unitário entre p0 e p1. pode haver uma maneira sofisticada, mas o método bruto em que consigo pensar leva dois betores p0-> p1, p1-> p2, normaliza cada um para ter comprimento de um, depois pega a subtração vetorial desses dois e determina a magnitude. Essa é DT. Divisão produz uma curvatura K0_1. pegue p1, p2 e p3 para calcular K1_2e assim por diante.

Gostaria de saber se você se apossar do contorno como uma polilinha, não como pixels renderizados. Você disse 100px para que eu me preocupasse um pouco.