Como você calcula o raio da Terra em uma dada latitude geodésica?

(Vejo que há uma equação na Wikipedia que faz exatamente o que estou pedindo, mas não há referências. Não tenho como confirmar a validade dessa equação!)

Eu já entendo a diferença entre Latitude Geocêntrica vs Latitude Geodésica.

Supondo que sejam conhecidos os raios semi-maior ae semi-menor conhecidos b. Como você calcula o raio em uma determinada latitude geodésica?

Preciso de algum tipo de confirmação de especialista (derivação, link para derivação, confirmação de especialista, explicação etc.).

Esta questão assume um modelo elipsoidal da terra. Sua superfície de referência é obtida girando uma elipse em torno de seu eixo menor (plotado verticalmente por convenção). Tal elipse é apenas um círculo que foi esticado horizontalmente por um fator de a e verticalmente por um fator de b . Usando a parametrização padrão do círculo unitário,

t --> (cos(t), sin(t))

(que define cosseno e seno), obtemos uma parametrização

t --> (a cos(t), b sin(t)).

(Os dois componentes dessa parametrização descrevem uma viagem em torno da curva: eles especificam, em coordenadas cartesianas, nossa localização no "tempo" t .)

A latitude geodésica , f , de qualquer ponto é o ângulo que "para cima" faz com o plano equatorial. Quando a difere de b , o valor de f difere do valor de t (exceto ao longo do equador e nos polos).

Nesta figura, a curva azul é um quadrante dessa elipse (muito exagerado em comparação com a excentricidade da Terra). O ponto vermelho no canto inferior esquerdo é o centro. A linha tracejada designa o raio para um ponto na superfície. Sua direção "para cima" é mostrada com um segmento preto: é, por definição, perpendicular à elipse naquele ponto. Devido à excentricidade exagerada, é fácil ver que "para cima" não é paralelo ao raio.

Em nossa terminologia, t está relacionado ao ângulo feito pelo raio em relação à horizontal ef é o ângulo feito por esse segmento preto. (Note-se que qualquer . Ponto da superfície pode ser visto a partir desta perspectiva Isso nos permite limitar tanto t e f a mentira entre 0 e 90 graus, os seus co-senos e senos será positivo, de modo que não precisa se preocupar com negativa raízes quadradas nas fórmulas.)

O truque é converter da parametrização t para uma em termos de f , porque em termos de t é fácil calcular o raio R (através do teorema de Pitágoras). Seu quadrado é a soma dos quadrados dos componentes do ponto,

R(t)^2 = a^2 cos(t)^2 + b^2 sin(t)^2.

Para fazer essa conversão, precisamos relacionar a direção "para cima" f com o parâmetro t . Essa direção é perpendicular à tangente da elipse. Por definição, uma tangente a uma curva (expressa como vetor) é obtida diferenciando sua parametrização:

Tangent(t) = d/dt (a cos(t), b sin(t)) = (-a sin(t), b cos(t)).

(A diferenciação calcula a taxa de mudança. A taxa de mudança de nossa posição à medida que percorremos a curva é, obviamente, a nossa velocidade , e que sempre aponta ao longo da curva.)

Gire no sentido horário 90 graus para obter a perpendicular, chamada de vetor "normal":

Normal(t) = (b cos(t), a sin(t)).

A inclinação desse vetor normal, igual a (a sen (t)) / (b cos (t)) ("subida sobre corrida"), também é a tangente do ângulo que ele faz em relação à horizontal, de onde

tan(f) = (a sin(t)) / (b cos(t)).

Equivalentemente,

(b/a) tan(f) = sin(t) / cos(t) = tan(t).

(Se tiver boa perspectiva geometria euclidiana, pode-se obter este relacionamento directamente da definição de uma elipse, sem passar por qualquer trig ou cálculo, simplesmente através do reconhecimento de que as expansões horizontais e verticais combinados por um e b , respectivamente, têm o efeito de alterar todas as inclinações por esse fator b / a .)

Olhe novamente para a fórmula para R (t) ^ 2: sabemos a e b - eles determinam a forma eo tamanho da elipse - por isso só precisa encontrar cos (t) ^ 2 e sin (t) ^ 2 em termos de f , que a equação anterior nos permite fazer facilmente:

cos(t)^2 = 1/(1 + tan(t)^2) 
         = 1 / (1 + (b/a)^2 tan(f)^2) 
         = a^2 / (a^2 + b^2 tan(f)^2);
sin(t)^2 = 1 - cos(t)^2 
         = b^2 tan(f)^2 / (a^2 + b^2 tan(f)^2).

(Quando tan (f) é infinito, estamos no polo, então basta definir f = t nesse caso.)

Essa é a conexão que precisamos. Substitua esses valores por cos (t) ^ 2 e sin (t) ^ 2 na expressão para R (t) ^ 2 e simplifique para obter

R(f)^2 = ( a^4 cos(f)^2 + b^4 sin(f)^2 ) / ( a^2 cos(f)^2 + b^2 sin(f)^2 ).

Uma transformação simples mostra que essa equação é a mesma encontrada na Wikipedia. Como a ^ 2 b ^ 2 = (ab) ^ 2 e (a ^ 2) ^ 2 = a ^ 4,

R(f)^2 = ( (a^2 cos(f))^2 + (b^2 sin(f))^2 ) / ( (a cos(f))^2 + (b sin(f))^2 )

Interessante descobrir que minha solução analfabeta de matemática fez o trabalho com 5 minutos de reflexão e codificação, não seria necessário considerar o fator de achatamento em vez de um modelo elíptico perfeito?

        double pRad = 6356.7523142;
        double EqRad = 6378.137;                      
        return pRad + (90 - Math.Abs(siteLatitude)) / 90 * (EqRad - pRad); 

Pelo menos essa é a fórmula encontrada no Centro de Análise e Avaliação de Dados dos EUA (DAAC) para o wiki do Programa de Modernização da Computação de Alto Desempenho (HPCMP) do Departamento de Defesa (DoD) . Diz que eles pegaram emprestado pesadamente da entrada da Wikipedia . Ainda assim, o fato de manterem essa fórmula deve valer alguma coisa.