Qual a precisão da aproximação da Terra como uma esfera?

Que nível de erro encontro ao aproximar a Terra como uma esfera? Especificamente, ao lidar com a localização dos pontos e, por exemplo, o grande círculo se distancia entre eles.

Existem estudos sobre o erro médio e o pior caso comparados a um elipsóide? Eu estou imaginando quanta precisão eu estaria sacrificando se eu fosse com uma esfera para facilitar os cálculos.

Meu cenário específico envolve mapear diretamente as coordenadas WGS84 como se fossem coordenadas em uma esfera perfeita (com o raio médio definido pelo IUGG) sem nenhuma transformação.

Em resumo, a distância pode estar com erro de aproximadamente 22 km ou 0,3%, dependendo dos pontos em questão. Isso é:

• O erro pode ser expresso de várias maneiras naturais e úteis , como (i) erro (residual), igual à diferença entre as duas distâncias calculadas (em quilômetros) e (ii) erro relativo, igual à diferença dividida pela valor "correto" (elipsoidal). Para produzir números convenientes para trabalhar, multiplico essas proporções por 1000 para expressar o erro relativo em partes por mil .

• Os erros dependem dos terminais. Devido à simetria rotacional do elipsóide e da esfera e suas simetrias bilaterais (norte-sul e leste-oeste), podemos colocar um dos pontos de extremidade em algum ponto ao longo do meridiano de referência (longitude 0) no hemisfério norte (latitude entre 0 e 90 ) e o outro ponto final no hemisfério oriental (longitude entre 0 e 180).

Para explorar essas dependências, plotei os erros entre os pontos finais em (lat, lon) = (mu, 0) e (x, lambda) em função da latitude x entre -90 e 90 graus. (Todos os pontos estão nominalmente a uma altura elipsóide de zero.) Nas figuras, as linhas correspondem aos valores de mu em {0, 22,5, 45, 67,5} graus e as colunas aos valores de lambda em {0, 45, 90, 180} graus. Isso nos dá uma boa visão do espectro de possibilidades. Como esperado, seus tamanhos máximos são aproximadamente o nivelamento (cerca de 1/300) vezes o eixo principal (cerca de 6700 km), ou cerca de 22 km.

Erros

Erros relativos

Gráfico de contorno

Outra maneira de visualizar os erros é corrigir um ponto de extremidade e permitir que o outro varie, contornando os erros que surgem. Aqui, por exemplo, é um gráfico de contorno em que o primeiro ponto de extremidade está a 45 graus de latitude norte e 0 graus de longitude. Como antes, os valores dos erros estão em quilômetros e os erros positivos significam que o cálculo esférico é muito grande:

Pode ser mais fácil ler quando embrulhado em todo o mundo:

O ponto vermelho no sul da França mostra a localização do primeiro ponto final.

Para o registro, aqui está o código do Mathematica 8 usado para os cálculos:

WGS84[x_, y_] := GeoDistance @@ (GeoPosition[Append[#, 0], "WGS84"] & /@ {x, y});
sphere[x_, y_] := GeoDistance @@
   (GeoPosition[{GeodesyData["WGS84", {"ReducedLatitude", #[[1]]}], #[[2]], 0}, "WGS84"] & /@ {x, y});

E um dos comandos de plotagem:

With[{mu = 45}, ContourPlot[(sphere[{mu, 0}, {x, y}] - WGS84[{mu, 0}, {x, y}]) / 1000, 
                   {y, 0, 180}, {x, -90, 90}, ContourLabels -> True]]

Eu explorei essa questão recentemente. Acho que as pessoas querem saber

1. que raio esférico devo usar?
2. qual é o erro resultante?

Uma métrica razoável para a qualidade da aproximação é o erro relativo absoluto máximo na distância do grande círculo

err = |s_sphere - s_ellipsoid| / s_ellipsoid

com o máximo avaliado em todos os pares possíveis de pontos.

Se o achatamento f for pequeno, o raio esférico que minimiza o erro é muito próximo de (a + b) / 2 e o erro resultante é de cerca de

err = 3*f/2 = 0.5% (for WGS84)

(avaliado com 10 ^ 6 pares de pontos escolhidos aleatoriamente). Às vezes, é sugerido o uso (2 * a + b) / 3 como o raio esférico. Isso resulta em um erro um pouco maior, err = 5 * f / 3 = 0,56% (para WGS84).

A geodésica cujo comprimento é mais subestimado pela aproximação esférica fica perto de um polo, por exemplo, (89.1,0) a (89.1.180). Geodésicas cujo comprimento é mais superestimado pela aproximação esférica são meridionais perto do equador, por exemplo, (-0,1,0) a (0,1,0).

ADENDA : Aqui está outra maneira de abordar esse problema.

Selecione pares de pontos uniformemente distribuídos no elipsóide. Medir a distância elipsoidal s ea distância em uma unidade esfera t . Para qualquer par de pontos, s / t fornece um raio esférico equivalente. Calcule a média dessa quantidade em todos os pares de pontos e isso fornece um raio esférico equivalente médio. Há uma questão de exatamente como a média deve ser feita. No entanto, todas as opções que tentei

1. <s>/<t>
2. <s/t>
3. sqrt(<s^2>/<t^2>)
4. <s^2>/<s*t>
5. <s^2/t>/<s>

tudo saiu a alguns metros do raio médio recomendado pelo IUGG, R ₁ = (2 a + b ) / 3. Portanto, esse valor minimiza o erro RMS nos cálculos de distância esférica. (No entanto isso resulta em um erro relativo máximo ligeiramente maior em comparação com ( um + b ) / 2;. Ver acima) Dado que R ₁ é susceptível de ser utilizado para outras finalidades (cálculos de área e semelhantes), há uma boa razão para escolha esta opção para cálculos de distância.

A linha inferior :

• Para qualquer tipo de trabalho sistemático, em que você possa tolerar um erro de 1% nos cálculos de distância, use uma esfera de raio R ₁ . O erro relativo máximo é de 0,56%. Use esse valor consistentemente ao aproximar a terra com uma esfera.
• Você precisa de precisão adicional, resolva o problema geodésico elipsoidal.
• Para cálculos no verso do envelope, use R ₁ ou 6400 km ou 20000 / pi km ou a . Isso resulta em um erro relativo máximo de cerca de 1%.

Outro adendo : Você pode extrair um pouco mais de precisão da grande distância do círculo usando μ = tan ⁻¹ ((1 - f ) ^3/2 tanφ) (latitude retificadora de um pobre homem) como a latitude no cálculo do grande círculo. Isto reduz o erro máximo relativo de 0,56% para 0,11% (com R ₁ como o raio da esfera). (Não está claro se realmente vale a pena adotar essa abordagem, em vez de calcular diretamente a distância geodésica elipsoidal.)