Suas suposições estão corretas. Verificar a simetria é uma excelente idéia: a curvatura (gaussiana) é uma propriedade intrínseca de uma superfície. Portanto, girar uma grade não deve alterá-la. No entanto, as rotações introduzem erros de discretização - exceto as rotações em múltiplos de 90 graus. Portanto, qualquer rotação desse tipo deve preservar a curvatura.
Podemos entender o que está acontecendo capitalizando a primeira idéia do cálculo diferencial: derivadas são limites de quocientes de diferença. É tudo o que realmente precisamos saber.
dxxdeve ser uma aproximação discreta para a segunda derivada parcial na direção x. Essa aproximação específica (dentre as muitas possíveis) é calculada amostrando a superfície ao longo de um transecto horizontal através da célula. Localizando a célula central na linha 2 e na coluna 2, escrita (2,2), o transecto passa pelas células em (1,2), (2,2) e (3,2).
Ao longo desse transecto, as primeiras derivadas são aproximadas por seus quocientes de diferença (* x32- * x22) / L e (* x22- * x12) / L, onde L é a distância (comum) entre as células (evidentemente igual a cellSizeAvg). Os segundos derivativos são obtidos pelos quocientes de diferença destes, produzindo
dxx = ((*x32-*x22)/L - (*x22-*x12)/L)/L
= (*x32 - 2 * *x22 + *x12) / L^2.
Observe a divisão por L ^ 2!
Da mesma forma, dyyé suposto ser uma aproximação discreta para a segunda derivada parcial na direção y. O transecto é vertical, passando pelas células em (2,1), (2,2) e (2,3). A fórmula terá a mesma aparência de dxxmas com os subscritos transpostos. Essa seria a terceira fórmula da pergunta - mas você ainda precisa dividir por L ^ 2.
A segunda derivada parcial mista,, dxypode ser estimada separando-se duas células. Por exemplo, a primeira derivada com relação a x na célula (2,3) (a célula do meio superior, não a célula central!) Pode ser estimada subtraindo o valor à sua esquerda, * x13, do valor à direita, * x33 e dividindo pela distância entre essas células, 2L. A primeira derivada em relação a x na célula (2,1) (a célula do meio do fundo) é estimada por (* x31 - * x11) / (2L). Sua diferença, dividida por 2L, estima a parcial mista, dando
dxy = ((*x33 - *x13)/(2L) - (*x31 - *x11)/(2L))/(2L)
= (*x33 - *x13 - *x31 + *x11) / (4 L^2).
Não tenho muita certeza do que se entende por curvatura "total", mas provavelmente deve ser a curvatura gaussiana (que é o produto das principais curvaturas). De acordo com Meek & Walton 2000 , Equação 2.4, a curvatura gaussiana é obtida dividindo-se dxx * dyy-dxy ^ 2 (observe o sinal de menos! - este é um determinante ) pelo quadrado da norma do gradiente da superfície. Assim, o valor de retorno citado na pergunta não é exatamente uma curvatura, mas parece uma expressão parcial confusa da curvatura gaussiana.
Encontramos, então, seis erros no código , a maioria deles críticos:
dxx precisa ser dividido por L ^ 2, não 1.
dyy precisa ser dividido por L ^ 2, não 1.
O sinal do dxy está incorreto. (Porém, isso não afeta a fórmula da curvatura.)
As fórmulas para dyy e dxy são misturadas, como você observa.
Um sinal negativo está ausente de um termo no valor de retorno.
Na verdade, ele não calcula uma curvatura, mas apenas o numerador de uma expressão racional para a curvatura.
Como uma verificação muito simples, vamos verificar se a fórmula modificada retorna valores razoáveis para locais horizontais em superfícies quadráticas. Tomando esse local como a origem do sistema de coordenadas e levando a sua elevação a uma altura zero, todas essas superfícies têm equações da forma
elevation = a*x^2 + 2b*x*y + c*y^2.
para constante a, bec. Com o quadrado central nas coordenadas (0,0), o quadrado à esquerda possui coordenadas (-L, 0) etc. As nove elevações são
*x13 *x23 *x33 (a-2b+c)L^2, (c)L^2, (a+2b+c)L^2
*x12 *x22 *x32 = (a)L^2, 0, (a)L^2
*x11 *x21 *x31 (a+2b+c)L^2, (c)L^2, (a-2b+c)L^2
De onde, pela fórmula modificada,
dxx = (a*L^2 - 2*0 + a*L^2) / L^2
= 2a;
dxy = ((a+2b+c)L^2 - (a-2b+c)L^2 - (a-2b+c)L^2 + (a+2b+c)L^2)/(4L^2)
= 2b;
dyy = ... [computed as in dxx] ... = 2c.
A curvatura é estimada como 2a * 2c - (2b) ^ 2 = 4 (ac - b ^ 2). (O denominador na fórmula de Meek & Walton é um neste caso.) Isso faz sentido? Tente alguns valores simples de a, bec:
a = c = 1, b = 0. Este é um parabolóide circular; sua curvatura gaussiana deve ser positiva. O valor de 4 (ac-b ^ 2) é de fato positivo (igual a 4).
a = c = 0, b = 1. Este é um hiperboloide de uma folha - uma sela - o exemplo padrão de uma superfície de curvatura negativa . Com certeza, 4 (ac-b ^ 2) = -4.
a = 1, b = 0, c = -1. Essa é outra equação do hiperboloide de uma folha (girada 45 graus). Mais uma vez, 4 (ac-b ^ 2) = -4.
a = 1, b = 0, c = 0. Esta é uma superfície plana dobrada em uma forma parabólica. Agora, 4 (ac-b ^ 2) = 0: a curvatura Gaussiana zero detecta corretamente o nivelamento dessa superfície.
Se você tentar o código da pergunta nesses exemplos, descobrirá que ele sempre recebe um valor incorreto.