Qualquer software que possa projetar coordenadas com precisão pode calcular indicadores precisos da Tissot .
Uma boa fonte para as fórmulas é Snyder, John, Map Projections - A Working Manual , principalmente nas páginas 20-26. (Não vou reproduzi-los aqui porque este site não possui ferramentas apropriadas para comunicar fórmulas matemáticas.) Eles exigem todas as quatro primeiras derivadas das coordenadas projetadas (x, y) em relação às coordenadas esféricas (lat, lon) = (phi, lambda):
dx / d(phi), dx / d(lambda);
dy / d(phi), dy / d(lambda).
Todo o resto das TI é calculado em termos delas (usando algumas funções aritméticas e trigonométricas: cosseno, seno inverso principal e tangente inversa principal). Os cálculos requerem uma descrição da forma da Terra. Para maior precisão, use um dado elipsoidal com semi-eixo maior ae excentricidade e. (Eles serão conhecidos pelo software.)
O livro de Snyder tem instruções sobre como calcular tudo, exceto esses derivados. Faça numericamente. Eu tive excelentes resultados usando estimativas de diferenças finitas centrais de primeira ordem a uma distância de h = 10 ^ (- 5,2) radianos (normalmente em torno de 50 metros): este é um bom compromisso entre tentar chegar infinitamente perto e perder muita precisão de arredondamento de ponto flutuante (assumindo precisão dupla), porque o erro cometido é proporcional a (10 ^ (- 5,2)) ^ 2 = 10 ^ (- 10,4) e 10 ^ (- 5,2) é igual a 10 ^ 10,4 vezes a precisão de precisão dupla da IEEE de 10 ^ (- 15,6) e ainda é muito maior do que a precisão típica em projeções, que geralmente variam de 10 ^ (- 10) a cerca de 10 ^ (- 14).
Então, como você calcula estimativas de diferenças finitas? Esta parte é surpreendentemente fácil. Para obter dx / d (phi) em um ponto (phi, lambda), peça ao seu GIS para projetar os pontos
(phi - h/2, lambda) --> (x0,y0),
(phi + h/2, lambda) --> (x1,y1).
Use as estimativas
dx / d(phi) = (x1 - x0)/h,
dy / d(phi) = (y1 - y0)/h.
Da mesma forma, projete os pontos
(phi, lambda - h/2) --> (x2,y2),
(phi, lambda + h/2) --> (x3,y3)
e use as estimativas
dx / d(lambda) = (x3 - x2)/h,
dy / d(lambda) = (y3 - y2)/h.
São necessárias quatro projeções e um pouquinho de aritmética. (Você pode reduzi-lo para três usando diferenças não centrais, mas a precisão diminui um pouco. Seu objetivo é obter alta precisão, sem deixar que fique muito pequeno, a menos que você tenha certeza de que seu GIS está usando o nível de pesquisa (milímetro) precisão em suas fórmulas de projeção.)
A partir desses derivados, juntamente com as fórmulas de Snyder (prestando atenção às modificações descritas em 4-19 e 4-21), é possível obter os comprimentos dos eixos da Indicadora de Tissot em (phi, lambda) e sua orientação. Nos mapas em escala mundial, a TI será tão pequena que ficará invisível; portanto, a última coisa a fazer é decidir quanto você deseja redimensionar cada TI. Eu determino o fator de escala descobrindo o tamanho do mapa, descobrindo os tamanhos das TIs típicas no mapa e dimensionando para que essas TIs tenham aproximadamente 6% da largura do mapa. É um bom começo, de qualquer maneira; Deixei o usuário ajustar o tamanho da TI a partir daí. É claro que você redimensionará todas as TIs pela mesma quantidade, para que possam ser comparadas e cada uma será redimensionada em torno de seu próprio centro (que é obtido por uma quinta projeção (phi, lambda) -> (x, y) )
Uma boa adição à representação elíptica da TI é mostrar as direções do meridiano local e paralelo: então, de relance, você pode avaliar a convergência da grade . Também mostro um círculo padrão (representando nenhuma distorção) concêntrico com cada TI, porque melhora a capacidade do leitor de medir a quantidade de distorção representada por cada elipse.
Destaca-se nesta projeção de Mollweide a TI extrema perto do pólo sul. Ainda é uma elipse perfeita e descreve com precisão a distorção do mapa.
