Este é o resultado do mapeamento do caminho de linha reta de um ponto nos EUA para a Polônia usando a Ferramenta de medição de distância .
Além disso, aviões da Ásia para os EUA viajariam quase sobre o Pólo Norte.
Por que o caminho é tão curvo? Concordo que esta é uma representação plana de uma esfera, então espero algum arco, mas não acho que a Terra tenha tanta curvatura.
O que estou perdendo aqui?
Respostas:
Basta olhar para o caminho na esfera. Aqui está no Google Earth:
O caminho no seu mapa é fortemente curvado, porque ele usa uma projeção com muita distorção. (A distorção cresce sem amarrar em direção aos pólos e esse caminho está chegando ao pólo norte.)
A distorção é necessária para explicar a curvatura dessa geodésica no mapa, mas a conexão entre elas é sutil. Pode-se dizer mais que é ao mesmo tempo útil, informativo e elegante. Veja se você concorda.
O mapa do OP usa uma projeção Mercator. Suas principais qualidades são que é
Cilíndrico : em particular, os meridianos são linhas verticais no mapa,
Conforme : qualquer ângulo no qual dois caminhos se cruzam na Terra será renderizado corretamente no mapa, e
Loxodrômico : qualquer rota de rumo constante (na terra) é renderizada como um segmento de linha reta no mapa.
Essas propriedades facilitam a leitura de algumas informações críticas diretamente do mapa. Neste contexto, estou mais interessado nos ângulos feitos por qualquer caminho com cada um dos meridianos que cruza. (Estes são os rolamentos medidos a partir do norte.) Por exemplo, o caminho descrito na pergunta começa no Canadá, em torno de 54 graus de latitude, formando um ângulo de cerca de 30 graus com seu meridiano.
O que também precisamos saber sobre um ponto a 54 graus de latitude é que ele está mais próximo do eixo da Terra do que pontos ao longo do equador. De fato, é cos (54) * R do eixo, onde R é o raio da Terra. (Esta é essencialmente a definição do cosseno. Ajuda a ter alguma familiaridade com os cossenos, para que você entenda como eles se comportam, mas você realmente não precisa conhecer nenhuma outra trigonometria. Prometo. Bem, mais uma coisa: o seno de um ângulo é o cosseno de seu complemento (por exemplo, sin (32 graus) = cos (90-32) = cos (58).)
Finalmente, observe que a Terra é simétrica em relação ao seu eixo. Isso nos permite invocar a bela beleza de Clairaut.
Teorema (1743): Em um caminho em qualquer superfície lisa de revolução, o produto da distância ao eixo com o seno do rolamento é constante se e somente se o caminho for localmente geodésico.
Assim, como começamos na latitude 54 graus em um ângulo de 30 graus, o produto no teorema é igual a cos (54) * R * sin (30) = 0,294 * R.
Como isso ajuda? Bem, considere o que aconteceria se o caminho continuasse aproximadamente reto no mapa . Mais cedo ou mais tarde chegaria a uma latitude de 73 graus. Usando o teorema de Clairaut, podemos resolver o rumo nesta latitude:
cos(73) * R * sin(bearing) = 0.294 * R;
sin(bearing) = 0.294 / cos(73) = 1;
bearing = 90 degrees.Isto diz que , quando atingirmos uma latitude de 73 graus, devemos estar viajando para o leste ! Ou seja, o caminho, para ser geodésico, deve se curvar com tanta força que o rumo inicial de 30 graus (leste do norte) se torna 90 graus (leste do norte).
(É claro que encontrei o valor 73 graus resolvendo a equação cos (latitude) = cos (latitude) * sin (90) = cos (54) * sin (60). Para fazer isso você mesmo deveria saber que (a ) sin (90) = 1 (porque sin (90) = cos (90-90) = cos (0) = 1) e (b) a maioria das calculadoras e planilhas tem uma função para resolver cossenos; é chamado ArcCos ou cosseno inverso. Espero que você não veja esses pequenos detalhes como quebrando minha promessa anterior de não haver mais disparos ...)
Depois de fazer alguns cálculos como esse, você desenvolve uma intuição para o que o Teorema de Clairaut está dizendo. Um caminho em uma superfície de revolução (como a Terra) pode ser geodésico (localmente mais curto ou "reto") somente quando (a) seu mancal se torna mais paralelo aos meridianos em pontos distantes do eixo e (b) seu mancal fica mais perpendicular aos meridianos em pontos mais próximos do eixo. Porque há um limite de quão perpendicular é possível obter - 90 graus, é! -, há um limite de quão perto do eixo você pode chegar. Esse ajuste constante de rumo (= ângulo ao meridiano) e latitude (= distância ao eixo) causa a aparente curvatura da geodésica na maioria dos mapas, especialmente naqueles que usam projeções cilíndricas, onde os meridianos e as linhas de latitude são renderizados como linhas verticais e horizontais, respectivamente.
Aqui estão algumas implicações fáceis do teorema de Clairaut. Veja se você pode provar todos eles:
O equador deve ser um geodésico.
Todos os meridianos são geodésicos.
Nenhuma linha de latitude, além do equador (e os polos, se você quiser incluí-los), pode ser geodésica. Nem mesmo uma pequena parte de uma linha de latitude pode ser geodésica.
Os loxodromos (também conhecidos como linhas de rumbos), que são linhas de rolamento constante, não podem ser geodésicos, a menos que sejam meridianos ou o equador. Nem mesmo uma pequena parte desse loxodromo pode ser geodésica. Em outras palavras, se você navega ou voa em uma direção fixa da bússola, então - com algumas exceções óbvias - seu caminho está constantemente se curvando!
O ponto 4 diz que se você voa das Montanhas Rochosas do Canadá a um rumo inicial de 30 graus a leste do norte, deve parecer, em relação ao norte, estar constantemente girando (para a direita) para voar em linha reta; você nunca irá para o norte a 73 graus de latitude; e se você continuar longe o suficiente, chegará à Polônia e seguirá a cerca de 150 graus a leste do norte quando chegar lá. É claro que os detalhes - 73 graus e Polônia e 150 graus - são obtidos apenas a partir da afirmação quantitativa do Teorema de Clairaut: você geralmente não consegue descobrir esse tipo de coisa apenas usando sua idéia intuitiva de geodésica.
Vale ressaltar que todos esses resultados se apóiam em um esferóide geral (uma superfície de revolução gerada por uma elipse), não apenas em esferas perfeitas. Com pequenas modificações, eles mantêm os toros (superfícies de bagels ou pneus de caminhões) e muitas outras superfícies interessantes. (O autor de ficção científica Larry Niven escreveu um romance em que um pequeno mundo artificial em forma de toro é apresentado. O link inclui uma imagem da capa do romance que representa parte deste mundo.)
Nesta projeção (Google Mercator), é assim que se parece o grande círculo entre esses dois lugares.
Apenas uma rápida adição:
Além disso, aviões da Ásia para os EUA viajariam quase sobre o Pólo Norte.
Nessa direção, eles costumam usar o jato. Na outra direção, eles realmente voarão sobre / perto dos postes.
A projeção de Mercator distorce nos pólos http://en.wikipedia.org/wiki/Mercator_projection
mais informações Indicatrix de Tissot
Portanto, a inclinação é mais aguda nos últimos pólos
Vi uma explicação muito elegante desse fenômeno no blog de Tom MacWright aqui , com fotos de laranjas. A versão para explicar a uma criança de 5 anos: "Em um globo, os caminhos mais curtos são planos e as linhas de navegação são curvas. Mercator fez um mapa onde as linhas de navegação são retas. Isso tornou os caminhos mais curtos".
Isso ocorre devido à projeção de um plano 2D em uma superfície polorizada de 2 esferas, à medida que a linha passa pelos pólos, ela fica distorcida no que diz respeito aos observadores do plano 2D, porque a linha reta ao destino parece ser uma curva arca de um Grande Círculo, que é um termo em matemática que se relaciona com o maior círculo que pode ser cortado de uma esfera, desde que o círculo passe pelo centro da esfera. Modifiquei levemente as imagens fornecidas em outras respostas, rabiscando uma linha para ilustrar (muito mal, receio, sou novo no GIMP) A chamada distorção polar. Eu acho que algum conceito semelhante está por trás das forças gravitacionais, mas eu não sou físico, então não sabia dizer.
Quanto mais próximo dos polos um ponto se aproxima, menos deformado ele parece quando é renderizado em uma superfície 2D plana, embora ainda esteja em pequena quantidade. Também depende do método de projeção usado, e há alguns que estão focados em fazer com que a rota mais rápida entre dois pontos pareça plana e, em seguida, retorne à visualização esférica completa.