Compreendendo os termos da fórmula Comprimento do grau?

Calculadoras online, como http://www.csgnetwork.com/degreelenllavcalc.html (ver código-fonte da página), usam as fórmulas abaixo para obter medidores por grau. Eu entendo em geral como a distância por grau varia dependendo da localização da latitude, mas não entendo como isso se traduz no abaixo. Mais especificamente, de onde vêm as constantes, os 3 termos "cos" em cada fórmula e os coeficientes (2, 4, 6; 3 e 5) para "lat"?

    // Set up "Constants"
    m1 = 111132.92;     // latitude calculation term 1
    m2 = -559.82;       // latitude calculation term 2
    m3 = 1.175;         // latitude calculation term 3
    m4 = -0.0023;       // latitude calculation term 4
    p1 = 111412.84;     // longitude calculation term 1
    p2 = -93.5;         // longitude calculation term 2
    p3 = 0.118;         // longitude calculation term 3

    // Calculate the length of a degree of latitude and longitude in meters
    latlen = m1 + (m2 * Math.cos(2 * lat)) + (m3 * Math.cos(4 * lat)) +
            (m4 * Math.cos(6 * lat));
    longlen = (p1 * Math.cos(lat)) + (p2 * Math.cos(3 * lat)) +
                (p3 * Math.cos(5 * lat));

O raio principal do esferóide WGS84 é a = 6378137 metros e seu achatamento inverso é f = 298.257223563, de onde a excentricidade ao quadrado é

e2 = (2 - 1/f)/f = 0.0066943799901413165.

O raio meridional da curvatura na latitude phi é

M = a(1 - e2) / (1 - e2 sin(phi)^2)^(3/2)

e o raio de curvatura ao longo do paralelo é

N = a / (1 - e2 sin(phi)^2)^(1/2)

Além disso, o raio do paralelo é

r = N cos(phi)

Essas são correções multiplicativas aos valores esféricos de M e N , ambos iguais ao raio esférico a , que é o que eles reduzem quando e2 = 0.

No ponto amarelo a 45 graus de latitude norte, o disco azul do raio M é o círculo osculante ("beijo") na direção do meridiano e o disco vermelho do raio N é o círculo osculante na direção do paralelo: ambos discos contêm a direção "para baixo" neste momento. Esta figura exagera o achatamento da Terra em duas ordens de magnitude.

Os raios de curvatura determinam os comprimentos dos graus: quando um círculo tem um raio de R , seu perímetro de comprimento 2 pi R cobre 360 ​​graus, onde o comprimento de um grau é pi * R / 180. Substituindo M e r por R - - isto é, multiplicar M e r por pi / 180 - fornece fórmulas exatas simples para os comprimentos de graus.

Estas fórmulas - os quais são baseados unicamente nos valores dados de uma e f (que pode ser encontrado em muitos lugares ) e a descrição do esferóide como um elipsóide de rotação - de acordo com os cálculos na pergunta para dentro de 0,6 partes por milhões (alguns centímetros), que é aproximadamente a mesma ordem de magnitude dos menores coeficientes da pergunta, indicando que eles concordam. (A aproximação é sempre um pouco baixa.) No gráfico, o erro relativo no comprimento de um grau de latitude é preto e o de longitude é tracejado em vermelho:

Dessa forma, podemos entender que os cálculos na questão são aproximações (através de séries trigonométricas truncadas) às fórmulas fornecidas acima.

Os coeficientes podem ser calculados a partir da série de cosseno de Fourier para M e r como funções da latitude. Eles são dados em termos de funções elípticas de e2, o que seria muito confuso para se reproduzir aqui. Para o esferóide WGS84, meus cálculos dão

  m1 = 111132.95255
  m2 = -559.84957
  m3 = 1.17514
  m4 = -0.00230
  p1 = 111412.87733
  p2 = -93.50412
  p3 = 0.11774
  p4 = -0.000165

(Você pode adivinhar como p4entra a fórmula. :) A proximidade desses valores com os parâmetros no código atesta a exatidão dessa interpretação. Essa aproximação aprimorada é precisa para muito melhor do que uma parte por bilhão em qualquer lugar.

Para testar esta resposta, executei o Rcódigo para realizar os dois cálculos:

#
# Radii of meridians and parallels on a spheroid.  Defaults to WGS84 meters.
# Input is latitude (in degrees).
#
radii <- function(phi, a=6378137, e2=0.0066943799901413165) {
  u <- 1 - e2 * sin(phi)^2
  return(cbind(M=(1-e2)/u, r=cos(phi)) * (a / sqrt(u))) 
}
#
# Approximate calculation.  Same interface (but no options).
#
m.per.deg <- function(lat) {
  m1 = 111132.92;     # latitude calculation term 1
  m2 = -559.82;       # latitude calculation term 2
  m3 = 1.175;         # latitude calculation term 3
  m4 = -0.0023;       # latitude calculation term 4
  p1 = 111412.84;     # longitude calculation term 1
  p2 = -93.5;         # longitude calculation term 2
  p3 = 0.118;         # longitude calculation term 3

  latlen = m1 + m2 * cos(2 * lat) + m3 * cos(4 * lat) + m4 * cos(6 * lat);
  longlen = p1 * cos(lat) + p2 * cos(3 * lat) + p3 * cos(5 * lat);
  return(cbind(M.approx=latlen, r.approx=longlen))
}
#
# Compute the error of the approximation `m.per.deg` compared to the 
# correct formula and plot it as a function of latitude.
#
phi <- pi / 180 * seq(0, 90, 10)
names(phi) <- phi * 180 / pi
matplot(phi * 180 / pi, 10^6 * ((m.per.deg(phi) - radii(phi) * pi / 180) / 
       (radii(phi) * pi / 180)),
        xlab="Latitude (degrees)", ylab="Relative error * 10^6",lwd=2, type="l")

O cálculo exato com radiipode ser usado para imprimir tabelas com comprimentos de graus, como em

zapsmall(radii(phi) * pi / 180)

A saída está em metros e é assim (com algumas linhas removidas):

          M         r
0  110574.3 111319.49
10 110607.8 109639.36
20 110704.3 104647.09
...
80 111659.9  19393.49
90 111694.0      0.00

Referências

LM Bugayevskiy e JP Snyder, Projeções de Mapas - Um Manual de Referência. Taylor e Francis, 1995. (Apêndice 2 e Apêndice 4)

JP Snyder, Projeções de Mapas - Um Manual de Trabalho. USGS Professional Paper 1395, 1987. (Capítulo 3)

Essa é a fórmula de Haversine , embora expressa de uma maneira estranha.