Dado o seguinte:

1. Tempo, t
2. O conjunto de dados IS-200 Ephemeris, E, de um satélite GPS correspondente ao tempo t
3. A posição ECEF do satélite GPS, P = (x, y, z), derivada do tempo e das efemérides, (t, E).
4. Suponha que a Terra seja apenas o elipsóide WGS-84.
5. Todos os pontos no WGS-84 têm o ângulo da máscara, m.

Encontre o seguinte:

1. o anel de cobertura, R, no WGS-84 do satélite GPS. ou seja, o limite que distingue quais pontos WGS-84 estão em vista o satélite no ponto P = (x, y, z) e quais pontos WGS-84 não estão em vista

Soluções aceitáveis:

1. Uma spline sobre WGS-84 que se aproxima de R.
2. Um polígono sobre WGS-84 que se aproxima de R.
3. Ou uma (s) fórmula (s) que me dá R.

O que eu tentei até agora:

• Seja e ^ 2 = 0,0066943799901264; excentricidade ao quadrado

Temos uma posição ECEF WGS-84 por latitude geodésica phi e longitude lambda:

r = 1 / (sqrt (1-e ^ 2 sin ^ 2 (phi))) * (cos (phi) * cos (lambda), cos (phi) * sin (lambda), (1-e ^ 2) * pecado (phi))

Em seguida, converto o ECEF para o quadro geográfico leste-norte para cima (ENU) com phi e lambda usando a matriz:

     (-sin(lambda)                  cos(lambda)                  0       )
C=   (-cos(lambda)*sin(phi)        -sin(lambda)*sin(phi)         cos(phi))
     ( cos(lambda)*cos(phi)         sin(lambda)*cos(phi)         sin(phi))

• Seja G = C (P - r)
• Tome o componente z de G. Se o componente z de G for maior que sin (m), então eu sei que o ponto, r, está em vista. Mas isso não é suficiente para obter a solução que eu estou procurando. Eu poderia encontrar um monte de pontos que estão à vista e assumir o casco convexo desses pontos, mas isso não é nada eficiente.

A solução para um elipsóide é bastante confusa - é uma forma irregular, não um círculo - e é melhor computada numericamente do que com uma fórmula.

Em um mapa-múndi, a diferença entre a solução WGS84 e uma solução puramente esférica apenas será perceptível (é de cerca de um pixel na tela). A mesma diferença seria criada alterando o ângulo da máscara em cerca de 0,2 graus ou usando uma aproximação poligonal. Se esses erros forem aceitáveis, você poderá explorar a simetria da esfera para obter uma fórmula simples.

Este mapa (usando uma projeção retangular) mostra a cobertura de um satélite a 22.164 quilômetros (do centro da Terra) com um ângulo de máscara de m = 15 graus no esferóide WGS84. A recálculo da cobertura de uma esfera não altera visivelmente este mapa.

Na esfera, a cobertura será verdadeiramente um círculo centrado na localização do satélite, portanto, apenas precisamos descobrir seu raio, que é um ângulo. Chame isso de t . Na seção transversal, existe um triângulo OSP formado pelo centro da Terra (O), o satélite (S) e qualquer ponto (P) no círculo:

• A OP lado é o raio da terra, R .

• O sistema operacional lateral é a altura do satélite (acima do centro da Terra). Chame isso de h .

• O ângulo OPS é 90 + m .

• O ângulo SOP é t , que queremos encontrar.

• Como os três ângulos de um triângulo somam 180 graus, o terceiro ângulo OSP deve ser igual a 90 - ( m + t ).

A solução agora é uma questão de trigonometria elementar. A lei (planar) dos senos afirma que

sin(90 - (m+t)) / r = sin(90 + m) / h.

A solução é

t = ArcCos(cos(m) / (h/r)) - m.

Como verificação, considere alguns casos extremos:

1. Quando m = 0, t = ArcCos (r / h), o que pode ser verificado com a geometria euclidiana elementar.

2. Quando h = r (o satélite não foi lançado), t = ArcCos (cos (m) / 1) - m = m - m = 0.

3. Quando m = 90 graus, t = ArcCos (0) - 90 = 90 - 90 = 0, como deveria ser.

Isso reduz o problema de desenhar um círculo na esfera, que pode ser resolvido de várias maneiras. Por exemplo, você pode armazenar em buffer a localização do satélite por t * R * pi / 180 usando uma projeção equidistante centralizada no satélite. As técnicas para trabalhar diretamente com círculos na esfera são ilustradas em /gis//a/53323/664 .

Editar

FWIW, para satélites GPS e pequenos ângulos de máscara (menos de 20 graus), essa aproximação não trigonométrica é precisa (até alguns décimos de grau e menos de alguns centésimos de grau quando o ângulo da máscara é inferior a 10 graus ):

t (degrees) = -0.0000152198628163333 * (-5.93410042925107*10^6 + 
              3.88800000000000*10^6 r/h + 65703.6145507725 m + 
              9.86960440108936 m^2 - 631.654681669719 r/h m^2)

Por exemplo, com um ângulo de máscara de m = 10 graus e um satélite a 26.559,7 km acima do centro da Terra (que é a distância nominal de um satélite GPS ), essa aproximação fornece 66,32159 ..., enquanto o valor (correto para a esfera ) é 66,32023 ...

(A aproximação é baseada em uma expansão da série de Taylor em torno de m = 0, r / h = 1/4.)