Avaliação de erro do cálculo feito usando dados não projetados vs. projetados

Esta pergunta é criada com a linha de assunto "Calculando a direção do fluxo e delineando bacias dos dados projetados versus não projetados".: Calculando a direção do fluxo e delineando bacias dos dados projetados versus não projetados

Esta é uma pergunta totalmente separada, no entanto, como a pergunta mencionada estabeleceu que há problemas com o uso de algoritmos (por exemplo, ArcGIS Flow Direction) que assumem a distância euclidiana nos dados em um sistema de coordenadas geográficas esféricas / sem projeção.

Sabemos que as projeções do mapa são como pegar uma casca de laranja e tentar achatá-la em uma mesa - você terá algum erro inerentemente introduzido pela projeção do mapa. Mas parece que os benefícios da projeção compensam qualquer erro introduzido, principalmente quando você está executando cálculos que assumem uma superfície planar cartesiana / projetada. Nesse caso, o algoritmo em que estou interessado é o algoritmo ArcGIS Flow Direction, que assume que seus dados são projetados (e essa é a suposição adotada pela maioria dos aplicativos com base em minha pesquisa), pois usa uma abordagem euclidiana para calcular a distância.

Minha pergunta é : como quantificar o erro que pode ser introduzido com o cálculo da direção do fluxo em uma determinada área de estudo usando dados DEM não projetados (dados DEM em um sistema de coordenadas geográficas) vs. dados projetados (dados DEM em uma projeção apropriada, como um UTM ou algo conforme)?

Concedido, você pode derivar uma varredura da direção do fluxo usando os dados DEM não projetados e, em seguida, projetados. Mas o que então? Como nosso objetivo é modelar a superfície da Terra com a maior precisão possível (e não estamos solucionando nenhum erro que possa ser introduzido no processo de criação do DEM original etc. - esses são constantes para mim) ... assumimos que os dados de direção do fluxo derivados do DEM projetado são melhores e, em seguida, comparamos os valores individuais das células dos dois rasters para identificar quais células têm valores direcionais diferentes (no contexto do modelo D-8 normal )? Acho que, para fazer isso, é necessário pegar a varredura de direção de fluxo derivada de dados não projetados e aplicar a mesma projeção usada com a varredura de direção de fluxo projetada.

O que faria mais sentido e com o que o DEM não projetado deve ser comparado como uma referência de precisão?

Entrar nos mínimos detalhes das equações matemáticas pode, para aqueles que a entendem, fornecer uma prova no nível do solo e ser suficiente para alguns, mas que, além de algo que possa transmitir o erro a alguém que não possui um o entendimento aprofundado da matemática, mas talvez apenas conheça geografia / GIS suficiente para ser perigoso, seria ótimo (idealmente, ambos os níveis seriam bons, o que ressoaria com os geeks de geografia hardcore e com o dabbler médio de GIS). Para as pessoas de nível mais alto, dizer que a prova está na matemática possivelmente deixa em aberto um argumento - estou procurando algo mais tangível (por exemplo, semelhante a anexar uma cifra a algum tipo de ineficiência no governo).

Quaisquer pensamentos ou idéias sobre como quantificar isso seriam muito apreciados.

Tom

A análise já foi feita em resposta à pergunta antecedente , mas talvez uma ilustração ajude.

Existem dois componentes principais de erro: o algoritmo "d8", que representa fluxos em apenas oito direções cardinais, e o efeito da projeção (ou falta dela). Vamos nos concentrar no último, porque essa parece ser a principal preocupação.

O erro depende das distorções na projeção e no próprio terreno. Localmente, em uma pequena região, todas as distorções de projeção na superfície da Terra chegam a um trecho em uma direção, em comparação com a direção perpendicular: é por isso que uma Indicatriz de Tissot (adequadamente calculada) é uma elipse perfeita, porque uma elipse é apenas um círculo esticado. O terreno pode ter qualquer aspecto (direção do fluxo). Para lidar com isso, vejamos um terreno que de fato tem pontos em todas as direções possíveis com linhas de fluxo simples: um cone .

Sobreposta neste mapa de contorno sombreado por cores da elevação do cone, há uma coleção de linhas de fluxo, mostrando as direções para onde a água fluiria. Você pode confirmar se essas linhas de fluxo estão corretas, verificando se elas cruzam os contornos em ângulos retos.

Ao escolher unidades de medida apropriadas e uma origem apropriada para o sistema de coordenadas (no ápice do cone), a equação da elevação em termos de coordenadas (x, y) é simplesmente

z = -Sqrt (x ^ 2 + y ^ 2).

As linhas de fluxo são sempre paralelas ao gradiente de z (na direção reversa), calculadas diferenciando esta fórmula em relação a x e y :

-Grad (z) = (x, y) / Sqrt (x ^ 2 + y ^ 2).

O coeficiente 1 / Sqrt (x ^ 2 + y ^ 2) não altera a direção, portanto podemos ignorá-lo com o objetivo de entender as linhas de fluxo. Assim, em qualquer local (x, y), a linha de fluxo aponta na direção (x, y).

O efeito de um alongamento horizontal nas coordenadas (por um fator de 2 nesta imagem) é alongar todos os contornos (sem alterar os níveis de contorno: as alturas não são afetadas pelas projeções). Embora (é claro) os contornos representem círculos verdadeiros, eles não se parecem mais com círculos verdadeiros no mapa. No entanto, quando as linhas de fluxo são computadas nessas coordenadas, elas devem cruzar os contornos em ângulos retos, como antes.

O efeito do alongamento é colocar a elevação em qualquer ponto das coordenadas (x, y) em novas coordenadas (alongamento x, y). Considere isso ao contrário: a elevação nas coordenadas (X, Y) = (trecho x, y) deve ser o valor de z calculado em (x, y) = (X / trecho, Y). Portanto, a equação da superfície aparente nessa projeção é

z = -Sqrt ((x / estiramento) ^ 2 + y ^ 2).

Diferenciando, calculamos

-Grad (z) = (x / estiramento ^ 2, y) / Sqrt ((x / estiramento) ^ 2 + y ^ 2).

Novamente, o fator comum não importa; portanto, em qualquer local (x, y), a linha de fluxo computada aponta na direção (x / estiramento ^ 2, y) . Essa foi a fórmula usada para desenhar as linhas de fluxo na figura anterior. Você pode ver que eles cruzam corretamente os contornos em ângulos retos.

Esta terceira imagem reprojeta a imagem anterior. A superfície é mostrada mais uma vez sem distorção. No entanto, as linhas de fluxo não parecem mais cruzar os contornos em ângulos retos. Esse foi o caso mesmo na figura anterior: devido à distorção, os ângulos pareciam apenas ângulos retos. As travessias estavam incorretas o tempo todo. É por isso que não projetar (ou usar uma projeção não conforme) é um erro. A questão é quão grande pode ser um erro. Alguns afirmam que isso tem pouca importância (pelo menos em latitudes baixas a moderadas).

Essa reprojeção (para remover a distorção no mapa) move o ponto em (x * alongamento, y) de volta para (x, y). A direção do fluxo anteriormente calculada nesse ponto foi armazenada em uma grade (como um ângulo ou um código de direção): ela não muda. Portanto, a direção do fluxo calculado em (x, y) é (x / estiramento ^ 2, y).

Isso quantifica o efeito de uma reprojeção em todas as direções de fluxo possíveis, como mostra a diferença entre o primeiro e o último gráfico. Aqui está a sobreposição, sem o gráfico de contorno para distração:

A reprojeção afeta as direções de maneira diferente, dependendo de como o fluxo é orientado em relação ao eixo principal da Indicatriz de Tissot. É uma função quadrática da distorção linear relativa na projeção. Como tal, exagera até pequenas quantidades de distorção. (O fator dos dois ilustrados aqui é um tanto extremo, mas realista: é a distorção introduzida ao não projetar - ou seja, usar coordenadas geográficas como coordenadas do mapa - a latitudes de 60 graus.)

Com um pouco de trigonometria, pode-se usar esses resultados para calcular o erro angular na direção do fluxo em função da direção correta. Aqui está um gráfico dos erros associados ao uso de um sistema de coordenadas geográficas (não projetadas) nas latitudes 20, 30, 40, 50 e 60 graus. (É claro que os erros maiores estão associados a latitudes mais altas.)

A "direção verdadeira" está em graus a leste do norte. As diferenças angulares positivas ocorrem quando a direção aparente (calculada sem projetar lat, lon) está no sentido anti-horário da direção verdadeira.

Lembre-se, você precisa sobrepor os erros do d8 em cima deles!