Respostas:
A fatia é a técnica no Photoshop e no Illustrator que permite dividir a imagem em pequenas partes para usá-la posteriormente em um site, interface etc.
Esse é o único objetivo da ferramenta de fatia: você pode criar uma interface no Photoshop e cortá-la em pequenas partes, dividindo-a em botões, imagens, menus e plano de fundo e exportá-la como imagens separadas. Ao desenvolver sites, ele também pode gerar HTML (principalmente ruim) para você.
A Wikipedia possui um artigo sobre isso: Slicing (design de interface)
Você pode gerar fatias a partir de guias. Eu acho que essa é a única relação que eles têm.
Veja esta pergunta: Qual é o método padrão de fatiar um documento do photoshop? , especificamente a resposta de Lauren.
Expandindo a resposta de Thiago Silveira:
Costumo usar o Slicing muito ao criar emails em HTML. O HTML gerado é tão primitivo (ou seja, usa tabelas para layout) que os emails em HTML são compatíveis mesmo com o Outlook 2007 e 2010 (que usa um mecanismo de renderização HTML padrão ruim).
A fatia é usada com o Save For Web & Devices. Quando você clica em salvar nesta tela, pode ver um menu suspenso na parte inferior do Finder (ou Windows Explorer, se preferir) para selecionar Apenas HTML, HTML e Imagens ou Apenas Imagens: