Desenho em perspectiva: encaixar a esfera no cubo

Supondo que eu tenha um cubo desenhado na perspectiva de dois pontos (ou até três pontos).

Eu gostaria de desenhar uma esfera dentro do cubo de forma que toque todos os lados.

Uma esfera se torna um círculo no papel.

• Como encontro o centro?

• Como encontro o raio?

Eu pensei que pelo menos encontrar o centro seria trivial (desenhando as diagonais), mas não tenho mais tanta certeza de que isso dê o resultado certo.

Só para esclarecer, esta é uma pergunta sobre papel e caneta. As réguas estão bem, os computadores não.

Para desenhar uma esfera dentro de um cubo, primeiro você precisa encontrar seu centro. Isso é realmente bastante simples: basta desenhar uma linha reta de cada canto do cubo até o canto oposto. O ponto em que as linhas se cruzam é ​​o ponto médio do cubo e, portanto, também o centro da esfera desenhada dentro do cubo:

(Se todas essas linhas não se cruzarem no mesmo ponto, seu cubo não é realmente um cubo ou mesmo um cubóide geral .)

Agora tudo que você precisa fazer é encontrar o raio da esfera. Infelizmente, no caso geral, isso é um pouco mais complicado do que encontrar o centro. A primeira coisa que você precisa fazer é encontrar os pontos médios das faces, que também podem ser encontrados desenhando linhas diagonais em cada face:

Estes são os pontos em que a esfera tocará as faces do cubo. O problema é que, a menos que uma das faces esteja exatamente na borda do seu ponto de vista (para que apareça apenas como uma linha na projeção 2D), esses pontos geralmente não estarão na borda do círculo obtido pela projeção a esfera inscrita em 2D.

A solução é primeiro esboçar os grandes círculos que conectam os pontos de contato na superfície da esfera. Na projeção 2D, serão elipses que passam por quatro dos pontos de contato; eles também serão tangentes às linhas que dividem cada face em quatro quadrados menores (não mostrados), ou seja, passarão aproximadamente na metade do caminho entre as linhas diagonais:

Por fim, escolha o raio da esfera para que fique tangente a essas elipses:

Agora, se você observar atentamente a figura acima, perceberá que a esfera que desenhei não está realmente centralizada no ponto central do cubo (e nem sequer é realmente uma esfera, mas um elipsóide). O que da? Bem, o problema é que meu "cubo" não é realmente um cubo regular, mas apenas um cubóide retangular (porque eu não conseguia descobrir como obter a ferramenta de cubo do Inkscape para me dar um cubo regular real, então tive que olhar nos olhos e entendi um pouco errado). Ainda assim, pelo menos parece que está aproximadamente aninhado dentro do cubo.

Depois de encontrar o centro, o raio será a distância entre o centro e a borda superior do quadrado.