Há duas perguntas aqui.
Vamos começar com o primeiro:
Por que as pessoas usam a proporção áurea?
Porque eles são preguiçosos, ou seguem cegamente os conselhos, sem colocar muita atenção por trás disso. A realidade é que a proporção áurea é basicamente BS. Bem, BS pode ser um pouco duro, talvez um termo melhor seja que seja quase sempre arbitrário. As conexões com a arquitetura romana, os mestres do renascimento e até a natureza são extremamente fracas e muitas vezes representam apenas aproximações. ou seja, algo é encontrado no estádio da proporção áurea, de modo que um mito se forma e que realmente se baseia na proporção áurea.
Infelizmente, existem poucas evidências de que haja algo único nessa relação em termos de apelo estético, exceto "ei, é um belo retângulo":
https://cogsci.stackexchange.com/questions/1627/is-golden-ratios-association-with-perceived-beauty-a-myth
É verdade que não há nada de errado em usá-lo como base para um layout ou marca, mas também não há nada de especial. Você pode escolher qualquer proporção e considerá-lo tão sólido quanto desejar.
Para sua informação, existem muitas perguntas sobre a Proporção Áurea neste site de Design Gráfico SE, bem como em vários outros sites de SE.
Keith Devlin, de Stanford, tem um vídeo interessante sobre este tópico: http://vimeo.com/88132964
A outra pergunta:
Por que as pessoas usam círculos para criar logotipos
A resposta literal a essa pergunta é que as pessoas usam círculos porque é uma ferramenta válida. Assim como linhas, retângulos, estrelas, cores, padrões, texturas etc.
Quanto ao caso específico do logotipo do Twitter que você menciona, acontece que esse logotipo específico foi projetado com arcos. Puramente uma decisão do designer.
(Nota lateral, deve-se salientar que o pássaro original do Twitter era na verdade uma obra de arte. Nunca foi realmente projetado como um logotipo).
A imagem da "arma de fumar" do artigo vinculado, IMHO, é a que une as duas coisas acima:
Para dizer bem, isso é besteira completa. É um gráfico artificial e não tem base real nas realidades do logotipo real.
Para iniciantes, o logotipo original da Apple foi desenhado à mão livre . Nenhum modelo de círculo real foi usado. Os outros círculos dentro da Apple são meramente arbitrariamente colocados lá após o fato. As curvas da maçã não são verdadeiros arcos, mas mais orgânicos e variáveis ... algo nos velhos tempos em que você usaria uma curva francesa. O logotipo foi posteriormente ajustado e limpo um pouco, então a mordida e a folha? Claro, eu vou dar a eles esse. No final, porém, a única proporção neste logotipo é a proporção do tamanho da boca humana típica e da maçã típica.
Quanto à proporção áurea, não há absolutamente nada no logotipo da Apple que se ajuste à proporção áurea. Como você pode ver, eles simplesmente colocaram o retângulo dourado no topo, sem nenhuma rima ou razão. Eles tentaram ser inteligentes escolhendo círculos específicos e remontando-os em um retângulo, mas a) vários deles são puramente arbitrários eb) Se você tiver que reorganizar tudo, não estará aderindo à proporção áurea.
Isso é semelhante aos filmes National Treasure ou The Da Vinci Code. Mistérios históricos divertidos - mas inteiramente ficção.
Em suma
A proporção áurea é boa, mas nada de especial. Use-o se o que você estiver desenhando se beneficiar dele. Ignore o contrário.
Círculos estão bem. Se o seu logotipo tiver muitos arcos, você precisará construí-lo a partir de segmentos de círculo.
(Atualize, parece que a FastCompany concorda . Para citar: É besteira. A boa fé estética da proporção áurea é uma lenda urbana, um mito, um unicórnio de design. )