Você já analisou a situação muito bem. Agora pense em como resolver isso bem a longo prazo!
Como você disse, as birras não desaparecem cedendo, apenas porque os vizinhos o disseram. Seu plano de conversar com o rapaz, mais uma vez calmo, é bom. Para acelerar o resfriamento, mantenha a calma e talvez tente conversar calmamente com a criança. Diga a ela que você quer que ela se acalme. Diga a ela que esse não é o caminho para conseguir o que ela quer. Diga a ela que você pode fazer um acordo, mas primeiro ela precisa parar. Devagar e com calma, cara a cara. Demore o tempo que o processo precisar e não tente apressá-lo. Especialmente para não membros da família.
Além disso, pense se levantar a voz e falar alto é um comportamento que a criança desenvolveu por conta própria ou se está espelhando uma pessoa (adulta ou outra criança) ao seu redor.
Por fim, não tente resolver o suposto problema dos pais, mas o problema real das pessoas. Como outros disseram, tente explicar que essa é uma fase que acabará eventualmente e que você está trabalhando nela. Da maneira que você descreve, seus vizinhos provavelmente não são os próprios pais (é pelo menos o que eu espero para seus filhos em potencial), e eles podem não entender o que está acontecendo, não importa o quão bem você os explique. Nesse caso, você precisará desenvolver alguma resiliência contra as reclamações. Normalmente, as relações não azedam além do reparo e melhoram quando o problema (por sua definição) desaparece. Se seus vizinhos ficarem bravos com você depois disso ... bem, acho que não há nada que você poderia ter feito em primeiro lugar. De qualquer maneira, não se preocupe muito com sua reputação com essas pessoas.