[Nota: editado para modernizar a sintaxe do ggplot]
Seu exemplo não é reproduzível porque não há ex1221new(há um ex1221in Sleuth2, então acho que foi isso que você quis dizer). Além disso, você não precisa (e não deve) retirar colunas para enviar ggplot. Uma vantagem é que ggplotfunciona comdata.frame diretamente s.
Você pode definir os rótulos com xlab()e ylab()ou torná-los parte da scale_*.*chamada.
library("Sleuth2")
library("ggplot2")
ggplot(ex1221, aes(Discharge, Area)) +
geom_point(aes(size=NO3)) +
scale_size_area() +
xlab("My x label") +
ylab("My y label") +
ggtitle("Weighted Scatterplot of Watershed Area vs. Discharge and Nitrogen Levels (PPM)")

ggplot(ex1221, aes(Discharge, Area)) +
geom_point(aes(size=NO3)) +
scale_size_area("Nitrogen") +
scale_x_continuous("My x label") +
scale_y_continuous("My y label") +
ggtitle("Weighted Scatterplot of Watershed Area vs. Discharge and Nitrogen Levels (PPM)")

Uma maneira alternativa de especificar apenas os rótulos (útil se você não estiver alterando nenhum outro aspecto das escalas) é usar a labsfunção
ggplot(ex1221, aes(Discharge, Area)) +
geom_point(aes(size=NO3)) +
scale_size_area() +
labs(size= "Nitrogen",
x = "My x label",
y = "My y label",
title = "Weighted Scatterplot of Watershed Area vs. Discharge and Nitrogen Levels (PPM)")
o que dá uma figura idêntica à acima.