Esse código sempre é avaliado como falso? Ambas as variáveis ​​são entradas assinadas do complemento de duas.

~x + ~y == ~(x + y)

Sinto que deve haver um número que satisfaça as condições. Tentei testar os números entre -5000e 5000nunca alcançou a igualdade. Existe uma maneira de configurar uma equação para encontrar as soluções para a condição?

Trocar um pelo outro causará um erro insidioso no meu programa?

Suponha, por uma questão de contradição, que existem alguns xe alguns y(mod 2 ⁿ ) tais que

~(x+y) == ~x + ~y

Pelo complemento de dois *, sabemos que,

      -x == ~x + 1
<==>  -1 == ~x + x

Observando esse resultado, temos,

      ~(x+y) == ~x + ~y
<==>  ~(x+y) + (x+y) == ~x + ~y + (x+y)
<==>  ~(x+y) + (x+y) == (~x + x) + (~y + y)
<==>  ~(x+y) + (x+y) == -1 + -1
<==>  ~(x+y) + (x+y) == -2
<==>  -1 == -2

Portanto, uma contradição. Portanto, ~(x+y) != ~x + ~ypara todos xe y(mod 2 ⁿ ).

^{* É interessante notar que em uma máquina com aritmética de complemento, a igualdade é verdadeira para todos xe y. Isto é porque sob o complemento de alguém ~x = -x. Assim ~x + ~y == -x + -y == -(x+y) == ~(x+y),.}

Complemento Dois

Na grande maioria dos computadores, se xfor um número inteiro, -xé representado como ~x + 1. Equivalentemente ~x == -(x + 1). Fazer esta subestação em sua equação fornece:

• (x + y) = x + y
• (x + 1) + - (y + 1) = - ((x + y) + 1)
• -x - y - 2 = -x - y - 1
• -2 = -1

o que é uma contradição, por isso ~x + ~y == ~(x + y)é sempre falso .

Dito isto, os pedantes apontam que C não requer complemento de dois, por isso devemos considerar também ...

Um complemento

No complemento de alguém , -xé simplesmente representado como ~x. Zero é um caso especial, com as representações all-0 ( +0) e all-1 ( -0), mas o IIRC, C exige +0 == -0mesmo que tenham padrões de bits diferentes, portanto, isso não deve ser um problema. Apenas substitua ~por -.

• (x + y) = x + y
• Dê sua nota! Dê sua nota!

o que é verdade para todos xe y.

Considere apenas o bit mais à direita de ambos xe y(ou x == 13seja, se estiver 1101na base 2, veremos apenas o último bit 1): a ) Existem quatro casos possíveis:

x = 0, y = 0:

LHS: ~ 0 + ~ 0 => 1 + 1 => 10
RHS: ~ (0 + 0) => ~ 0 => 1

x = 0, y = 1:

LHS: ~ 0 + ~ 1 => 1 + 0 => 1
RHS: ~ (0 + 1) => ~ 1 => 0

x = 1, y = 0:

Vou deixar isso para você, já que este é um dever de casa (dica: é o mesmo que o anterior, com x e y trocados).

x = 1, y = 1:

Vou deixar este com você também.

Você pode mostrar que o bit mais à direita sempre será diferente no lado esquerdo e no lado direito da equação, considerando qualquer entrada possível; portanto, você provou que ambos os lados não são iguais, pois têm pelo menos aquele bit que é invertido de um para o outro.

Se o número de bits for n

~x = (2^n - 1) - x
~y = (2^n - 1) - y


~x + ~y = (2^n - 1) +(2^n - 1) - x - y =>  (2^n + (2^n - 1) - x - y ) - 1 => modulo: (2^n - 1) - x - y - 1.

Agora,

 ~(x + y) = (2^n - 1) - (x + y) = (2^n - 1) - x - y.

Portanto, eles sempre serão desiguais, com uma diferença de 1.

Dica:

x + ~x = -1(mod 2 ⁿ )

Supondo que o objetivo da pergunta seja testar sua matemática (em vez de suas habilidades de ler as especificações C), isso deve levá-lo à resposta.

No complemento de um e de dois (e até de 42), isso pode ser provado:

~x + ~y == ~(x + a) + ~(y - a)

Agora vamos a = ye temos:

~x + ~y == ~(x + y) + ~(y - y)

ou:

~x + ~y == ~(x + y) + ~0

Portanto, no complemento de dois ~0 = -1, a proposição é falsa.

No complemento de alguém ~0 = 0, a proposição é verdadeira.

De acordo com o livro de Dennis Ritchie, C não implementa o complemento de dois por padrão. Portanto, sua pergunta nem sempre pode ser verdadeira.

Letting MAX_INTseja o int representado por 011111...111(por quantos bits houver). Então você sabe disso ~x + x = MAX_INTe ~y + y = MAX_INT, portanto, saberá com certeza que a diferença entre ~x + ~ye ~(x + y)é 1.

C não exige que o complemento de dois seja o que é implementado. No entanto, para números inteiros não assinados, lógicas semelhantes são aplicadas. As diferenças sempre serão 1 sob essa lógica!

Obviamente, C não exige esse comportamento porque não requer representação de complemento de dois. Por exemplo, ~x = (2^n - 1) - xe ~y = (2^n - 1) - yirá obter este resultado.

Ah, matemática discreta fundamental!

Confira a Lei de De Morgan

~x & ~y == ~(x | y)

~x | ~y == ~(x & y)

Muito importante para provas booleanas!