Como determinar se uma lista de pontos poligonais está no sentido horário?

Tendo uma lista de pontos, como localizo se eles estão no sentido horário?

Por exemplo:

point[0] = (5,0)
point[1] = (6,4)
point[2] = (4,5)
point[3] = (1,5)
point[4] = (1,0)

diria que é anti-horário (ou anti-horário, para algumas pessoas).

Alguns dos métodos sugeridos falharão no caso de um polígono não convexo, como um crescente. Aqui está um exemplo simples que funcionará com polígonos não convexos (até funcionará com um polígono auto-interceptável como a figura oito, informando se é principalmente no sentido horário).

Soma sobre as arestas, (x ₂ - x ₁ ) (y ₂ + y ₁ ). Se o resultado for positivo, a curva será no sentido horário; se for negativa, a curva será no sentido anti-horário. (O resultado é o dobro da área fechada, com uma convenção +/-.)

point[0] = (5,0)   edge[0]: (6-5)(4+0) =   4
point[1] = (6,4)   edge[1]: (4-6)(5+4) = -18
point[2] = (4,5)   edge[2]: (1-4)(5+5) = -30
point[3] = (1,5)   edge[3]: (1-1)(0+5) =   0
point[4] = (1,0)   edge[4]: (5-1)(0+0) =   0
                                         ---
                                         -44  counter-clockwise

O produto cruzado mede o grau de perpendicularidade de dois vetores. Imagine que cada aresta do seu polígono é um vetor no plano xy de um espaço tridimensional (3-D) xyz. O produto cruzado de duas arestas sucessivas é um vetor na direção z (direção z positiva se o segundo segmento for no sentido horário, menos a direção z se for no sentido anti-horário). A magnitude desse vetor é proporcional ao seno do ângulo entre as duas arestas originais, portanto atinge o máximo quando são perpendiculares e diminui para desaparecer quando as arestas são colineares (paralelas).

Portanto, para cada vértice (ponto) do polígono, calcule a magnitude do produto cruzado das duas arestas adjacentes:

Using your data:
point[0] = (5, 0)
point[1] = (6, 4)
point[2] = (4, 5)
point[3] = (1, 5)
point[4] = (1, 0)

Portanto, rotule as arestas consecutivamente como
edgeAé o segmento de point0para point1e
edgeBentre point1para point2
...
edgeEé entre point4e point0.

Então o vértice A ( point0) está entre
edgeE[From point4to point0]
edgeA[From point0to `point1 '

Essas duas arestas são vetores, cujas coordenadas x e y podem ser determinadas subtraindo as coordenadas de seus pontos inicial e final:

edgeE= point0- point4= (1, 0) - (5, 0)= (-4, 0) e
edgeA= point1- point0= (6, 4) - (1, 0)= (5, 4) e

E o produto de cruzamento destas duas bordas adjacentes é calculada usando o determinante da matriz seguinte, o qual é construído colocando as coordenadas dos dois vectores abaixo os símbolos que representam as três coordenadas eixo ( i, j, & k). A terceira coordenada avaliada (zero) existe porque o conceito de produto cruzado é uma construção 3D e, portanto, estendemos esses vetores 2-D em 3-D para aplicar o produto cruzado:

 i    j    k 
-4    0    0
 1    4    0    

Dado que todos os produtos cruzados produzem um vetor perpendicular ao plano de dois vetores sendo multiplicados, o determinante da matriz acima tem apenas um kcomponente (ou eixo z).
A fórmula para calcular a magnitude do kcomponente ou do eixo z é
a1*b2 - a2*b1 = -4* 4 - 0* 1 = -16

A magnitude desse valor ( -16) é uma medida do seno do ângulo entre os 2 vetores originais, multiplicado pelo produto das magnitudes dos 2 vetores.
Na verdade, outra fórmula para seu valor é
A X B (Cross Product) = |A| * |B| * sin(AB).

Portanto, voltando a uma medida do ângulo, você precisa dividir esse valor ( -16) pelo produto das magnitudes dos dois vetores.

|A| * |B| = 4 * Sqrt(17) =16.4924...

Então a medida do pecado (AB) = -16 / 16.4924=-.97014...

Esta é uma medida de se o próximo segmento após o vértice se curvou para a esquerda ou direita e quanto. Não há necessidade de tomar arco-seno. Tudo o que nos importa é a sua magnitude e, claro, o seu sinal (positivo ou negativo)!

Faça isso para cada um dos outros 4 pontos ao redor do caminho fechado e adicione os valores desse cálculo em cada vértice.

Se a soma final for positiva, você foi no sentido horário, negativo e anti-horário.

Acho que essa é uma pergunta bastante antiga, mas vou lançar outra solução de qualquer maneira, porque é direta e não matematicamente intensa - ela usa apenas álgebra básica. Calcule a área assinada do polígono. Se negativo, os pontos estão no sentido horário, se positivo, estão no sentido anti-horário. (Isso é muito semelhante à solução Beta).

Calcule a área assinada: A = 1/2 * (x ₁ * y ₂ - x ₂ * y ₁ + x ₂ * y ₃ - x ₃ * y ₂ + ... + x _n * y ₁ - x ₁ * y _n )

Ou no pseudo-código:

signedArea = 0
for each point in points:
    x1 = point[0]
    y1 = point[1]
    if point is last point
        x2 = firstPoint[0]
        y2 = firstPoint[1]
    else
        x2 = nextPoint[0]
        y2 = nextPoint[1]
    end if

    signedArea += (x1 * y2 - x2 * y1)
end for
return signedArea / 2

Observe que, se você estiver apenas verificando o pedido, não precisará se preocupar em dividir por 2.

Fontes: http://mathworld.wolfram.com/PolygonArea.html

Encontre o vértice com o menor y (e o maior x se houver laços). Seja o vértice Ae o vértice anterior na lista seja Be o próximo vértice na lista seja C. Agora calcule o sinal do produto cruzado de ABe AC.

Referências:

• Como encontro a orientação de um polígono simples? em perguntas freqüentes: comp.graphics.algorithms .

• Orientação de curva na Wikipedia.

Aqui está uma implementação simples de C # do algoritmo com base nesta resposta .

Vamos supor que temos um Vectortipo tendo Xe Ypropriedades do tipo double.

public bool IsClockwise(IList<Vector> vertices)
{
    double sum = 0.0;
    for (int i = 0; i < vertices.Count; i++) {
        Vector v1 = vertices[i];
        Vector v2 = vertices[(i + 1) % vertices.Count];
        sum += (v2.X - v1.X) * (v2.Y + v1.Y);
    }
    return sum > 0.0;
}

%é o operador de módulo ou restante executando a operação de módulo que (de acordo com a Wikipedia ) encontra o restante após a divisão de um número por outro.

Comece em um dos vértices e calcule o ângulo subtendido por cada lado.

O primeiro e o último serão zero (pule esses); para o resto, o seno do ângulo será dado pelo produto cruzado das normalizações para o comprimento unitário de (ponto [n] - ponto [0]) e (ponto [n-1] - ponto [0]).

Se a soma dos valores for positiva, seu polígono será desenhado no sentido anti-horário.

Pelo que vale, usei esse mixin para calcular a ordem de enrolamento dos aplicativos da API do Google Maps v3.

O código aproveita o efeito colateral das áreas poligonais: uma ordem de vértices no sentido horário produz uma área positiva, enquanto uma ordem de giro no sentido anti-horário dos mesmos vértices produz a mesma área que um valor negativo. O código também usa uma espécie de API privada na biblioteca de geometria do Google Maps. Eu me senti confortável em usá-lo - use por seu próprio risco.

Uso da amostra:

var myPolygon = new google.maps.Polygon({/*options*/});
var isCW = myPolygon.isPathClockwise();

Exemplo completo com testes de unidade @ http://jsfiddle.net/stevejansen/bq2ec/

/** Mixin to extend the behavior of the Google Maps JS API Polygon type
 *  to determine if a polygon path has clockwise of counter-clockwise winding order.
 *  
 *  Tested against v3.14 of the GMaps API.
 *
 *  @author  stevejansen_github@icloud.com
 *
 *  @license http://opensource.org/licenses/MIT
 *
 *  @version 1.0
 *
 *  @mixin
 *  
 *  @param {(number|Array|google.maps.MVCArray)} [path] - an optional polygon path; defaults to the first path of the polygon
 *  @returns {boolean} true if the path is clockwise; false if the path is counter-clockwise
 */
(function() {
  var category = 'google.maps.Polygon.isPathClockwise';
     // check that the GMaps API was already loaded
  if (null == google || null == google.maps || null == google.maps.Polygon) {
    console.error(category, 'Google Maps API not found');
    return;
  }
  if (typeof(google.maps.geometry.spherical.computeArea) !== 'function') {
    console.error(category, 'Google Maps geometry library not found');
    return;
  }

  if (typeof(google.maps.geometry.spherical.computeSignedArea) !== 'function') {
    console.error(category, 'Google Maps geometry library private function computeSignedArea() is missing; this may break this mixin');
  }

  function isPathClockwise(path) {
    var self = this,
        isCounterClockwise;

    if (null === path)
      throw new Error('Path is optional, but cannot be null');

    // default to the first path
    if (arguments.length === 0)
        path = self.getPath();

    // support for passing an index number to a path
    if (typeof(path) === 'number')
        path = self.getPaths().getAt(path);

    if (!path instanceof Array && !path instanceof google.maps.MVCArray)
      throw new Error('Path must be an Array or MVCArray');

    // negative polygon areas have counter-clockwise paths
    isCounterClockwise = (google.maps.geometry.spherical.computeSignedArea(path) < 0);

    return (!isCounterClockwise);
  }

  if (typeof(google.maps.Polygon.prototype.isPathClockwise) !== 'function') {
    google.maps.Polygon.prototype.isPathClockwise = isPathClockwise;
  }
})();

Uma implementação da resposta de Sean em JavaScript:

function calcArea(poly) {
    if(!poly || poly.length < 3) return null;
    let end = poly.length - 1;
    let sum = poly[end][0]*poly[0][1] - poly[0][0]*poly[end][1];
    for(let i=0; i<end; ++i) {
        const n=i+1;
        sum += poly[i][0]*poly[n][1] - poly[n][0]*poly[i][1];
    }
    return sum;
}

function isClockwise(poly) {
    return calcArea(poly) > 0;
}

let poly = [[352,168],[305,208],[312,256],[366,287],[434,248],[416,186]];

console.log(isClockwise(poly));

let poly2 = [[618,186],[650,170],[701,179],[716,207],[708,247],[666,259],[637,246],[615,219]];

console.log(isClockwise(poly2));

Tenho certeza que isso está certo. Parece que está funcionando :-)

Esses polígonos ficam assim, se você está se perguntando:

Esta é a função implementada para o OpenLayers 2 . A condição para ter um polígono no sentido horário é area < 0, confirmada por esta referência .

function IsClockwise(feature)
{
    if(feature.geometry == null)
        return -1;

    var vertices = feature.geometry.getVertices();
    var area = 0;

    for (var i = 0; i < (vertices.length); i++) {
        j = (i + 1) % vertices.length;

        area += vertices[i].x * vertices[j].y;
        area -= vertices[j].x * vertices[i].y;
        // console.log(area);
    }

    return (area < 0);
}

Se você usa o Matlab, a função ispolycwretornará true se os vértices do polígono estiverem no sentido horário.

Como também explicado neste artigo da Wikipedia Orientação em curva , dados 3 pontos p, qe rno plano (ou seja, com coordenadas x e y), você pode calcular o sinal do seguinte determinante

Se o determinante for negativo (ie Orient(p, q, r) < 0), o polígono será orientado no sentido horário (CW). Se o determinante for positivo (ou seja Orient(p, q, r) > 0), o polígono é orientado no sentido anti-horário (CCW). O determinante é zero (ou seja Orient(p, q, r) == 0) se pontos p, qe rsão colineares .

Na fórmula acima, nós preceder os em frente das coordenadas p, q e rporque está a utilizar coordenadas homogéneas .

Penso que, para que alguns pontos sejam dados no sentido horário, todas as arestas precisam ser positivas, não apenas a soma das arestas. Se uma aresta for negativa, pelo menos 3 pontos serão dados no sentido anti-horário.

Minha solução C # / LINQ é baseada nos conselhos de vários produtos da @charlesbretana abaixo. Você pode especificar uma referência normal para o enrolamento. Ele deve funcionar desde que a curva esteja principalmente no plano definido pelo vetor up.

using System.Collections.Generic;
using System.Linq;
using System.Numerics;

namespace SolidworksAddinFramework.Geometry
{
    public static class PlanePolygon
    {
        /// <summary>
        /// Assumes that polygon is closed, ie first and last points are the same
        /// </summary>
       public static bool Orientation
           (this IEnumerable<Vector3> polygon, Vector3 up)
        {
            var sum = polygon
                .Buffer(2, 1) // from Interactive Extensions Nuget Pkg
                .Where(b => b.Count == 2)
                .Aggregate
                  ( Vector3.Zero
                  , (p, b) => p + Vector3.Cross(b[0], b[1])
                                  /b[0].Length()/b[1].Length());

            return Vector3.Dot(up, sum) > 0;

        } 

    }
}

com um teste de unidade

namespace SolidworksAddinFramework.Spec.Geometry
{
    public class PlanePolygonSpec
    {
        [Fact]
        public void OrientationShouldWork()
        {

            var points = Sequences.LinSpace(0, Math.PI*2, 100)
                .Select(t => new Vector3((float) Math.Cos(t), (float) Math.Sin(t), 0))
                .ToList();

            points.Orientation(Vector3.UnitZ).Should().BeTrue();
            points.Reverse();
            points.Orientation(Vector3.UnitZ).Should().BeFalse();



        } 
    }
}

Esta é a minha solução usando as explicações nas outras respostas:

def segments(poly):
    """A sequence of (x,y) numeric coordinates pairs """
    return zip(poly, poly[1:] + [poly[0]])

def check_clockwise(poly):
    clockwise = False
    if (sum(x0*y1 - x1*y0 for ((x0, y0), (x1, y1)) in segments(poly))) < 0:
        clockwise = not clockwise
    return clockwise

poly = [(2,2),(6,2),(6,6),(2,6)]
check_clockwise(poly)
False

poly = [(2, 6), (6, 6), (6, 2), (2, 2)]
check_clockwise(poly)
True

Um método muito mais computacionalmente mais simples, se você já conhece um ponto dentro do polígono :

1. Escolha qualquer segmento de linha do polígono original, pontos e suas coordenadas nessa ordem.

2. Adicione um ponto "interno" conhecido e forme um triângulo.

3. Calcule CW ou CCW como sugerido aqui com esses três pontos.

Após testar várias implementações não confiáveis, o algoritmo que forneceu resultados satisfatórios em relação à orientação CW / CCW fora da caixa foi o postado pelo OP neste segmento (shoelace_formula_3 ).

Como sempre, um número positivo representa uma orientação CW, enquanto um número negativo CCW.

Aqui está a solução 3.0 rápida, com base nas respostas acima:

    for (i, point) in allPoints.enumerated() {
        let nextPoint = i == allPoints.count - 1 ? allPoints[0] : allPoints[i+1]
        signedArea += (point.x * nextPoint.y - nextPoint.x * point.y)
    }

    let clockwise  = signedArea < 0

Outra solução para isso;

const isClockwise = (vertices=[]) => {
    const len = vertices.length;
    const sum = vertices.map(({x, y}, index) => {
        let nextIndex = index + 1;
        if (nextIndex === len) nextIndex = 0;

        return {
            x1: x,
            x2: vertices[nextIndex].x,
            y1: x,
            y2: vertices[nextIndex].x
        }
    }).map(({ x1, x2, y1, y2}) => ((x2 - x1) * (y1 + y2))).reduce((a, b) => a + b);

    if (sum > -1) return true;
    if (sum < 0) return false;
}

Pegue todos os vértices como uma matriz como esta;

const vertices = [{x: 5, y: 0}, {x: 6, y: 4}, {x: 4, y: 5}, {x: 1, y: 5}, {x: 1, y: 0}];
isClockwise(vertices);

Solução para R para determinar a direção e reverter no sentido horário (considerado necessário para objetos owin):

coords <- cbind(x = c(5,6,4,1,1),y = c(0,4,5,5,0))
a <- numeric()
for (i in 1:dim(coords)[1]){
  #print(i)
  q <- i + 1
  if (i == (dim(coords)[1])) q <- 1
  out <- ((coords[q,1]) - (coords[i,1])) * ((coords[q,2]) + (coords[i,2]))
  a[q] <- out
  rm(q,out)
} #end i loop

rm(i)

a <- sum(a) #-ve is anti-clockwise

b <- cbind(x = rev(coords[,1]), y = rev(coords[,2]))

if (a>0) coords <- b #reverses coords if polygon not traced in anti-clockwise direction

Embora essas respostas estejam corretas, elas são mais matematicamente intensas do que o necessário. Assuma as coordenadas do mapa, onde o ponto mais ao norte é o ponto mais alto no mapa. Encontre o ponto mais ao norte e, se 2 pontos estiverem empatados, é o mais ao norte e o mais ao leste (este é o ponto que lhf usa em sua resposta). Nos seus pontos,

ponto [0] = (5,0)

ponto [1] = (6,4)

ponto [2] = (4,5)

ponto [3] = (1,5)

ponto [4] = (1,0)

Se assumirmos que P2 é o ponto mais ao norte, então o ponto leste, o ponto anterior ou o próximo, determinam no sentido horário, CW ou CCW. Como o ponto mais ao norte está na face norte, se o P1 (anterior) ao P2 se mover para o leste, a direção é CW. Nesse caso, ele se move para oeste, então a direção é anti-horária, como diz a resposta aceita. Se o ponto anterior não tiver movimento horizontal, o mesmo sistema se aplica ao próximo ponto, P3. Se P3 estiver a oeste de P2, o movimento é no sentido anti-horário. Se o movimento P2 para P3 for leste, é oeste neste caso, o movimento é CW. Suponha que nte, P2 nos seus dados, seja o ponto mais ao norte que o leste e o prv seja o ponto anterior, P1 nos seus dados e nxt seja o próximo ponto, P3 nos seus dados e [0] seja horizontal ou leste / oeste, onde oeste é menor que leste e [1] é vertical.

if (nte[0] >= prv[0] && nxt[0] >= nte[0]) return(CW);
if (nte[0] <= prv[0] && nxt[0] <= nte[0]) return(CCW);
// Okay, it's not easy-peasy, so now, do the math
if (nte[0] * nxt[1] - nte[1] * nxt[0] - prv[0] * (nxt[1] - crt[1]) + prv[1] * (nxt[0] - nte[0]) >= 0) return(CCW); // For quadrant 3 return(CW)
return(CW) // For quadrant 3 return (CCW)

Código C # para implementar a resposta do lhf :

// https://en.wikipedia.org/wiki/Curve_orientation#Orientation_of_a_simple_polygon
public static WindingOrder DetermineWindingOrder(IList<Vector2> vertices)
{
    int nVerts = vertices.Count;
    // If vertices duplicates first as last to represent closed polygon,
    // skip last.
    Vector2 lastV = vertices[nVerts - 1];
    if (lastV.Equals(vertices[0]))
        nVerts -= 1;
    int iMinVertex = FindCornerVertex(vertices);
    // Orientation matrix:
    //     [ 1  xa  ya ]
    // O = | 1  xb  yb |
    //     [ 1  xc  yc ]
    Vector2 a = vertices[WrapAt(iMinVertex - 1, nVerts)];
    Vector2 b = vertices[iMinVertex];
    Vector2 c = vertices[WrapAt(iMinVertex + 1, nVerts)];
    // determinant(O) = (xb*yc + xa*yb + ya*xc) - (ya*xb + yb*xc + xa*yc)
    double detOrient = (b.X * c.Y + a.X * b.Y + a.Y * c.X) - (a.Y * b.X + b.Y * c.X + a.X * c.Y);

    // TBD: check for "==0", in which case is not defined?
    // Can that happen?  Do we need to check other vertices / eliminate duplicate vertices?
    WindingOrder result = detOrient > 0
            ? WindingOrder.Clockwise
            : WindingOrder.CounterClockwise;
    return result;
}

public enum WindingOrder
{
    Clockwise,
    CounterClockwise
}

// Find vertex along one edge of bounding box.
// In this case, we find smallest y; in case of tie also smallest x.
private static int FindCornerVertex(IList<Vector2> vertices)
{
    int iMinVertex = -1;
    float minY = float.MaxValue;
    float minXAtMinY = float.MaxValue;
    for (int i = 0; i < vertices.Count; i++)
    {
        Vector2 vert = vertices[i];
        float y = vert.Y;
        if (y > minY)
            continue;
        if (y == minY)
            if (vert.X >= minXAtMinY)
                continue;

        // Minimum so far.
        iMinVertex = i;
        minY = y;
        minXAtMinY = vert.X;
    }

    return iMinVertex;
}

// Return value in (0..n-1).
// Works for i in (-n..+infinity).
// If need to allow more negative values, need more complex formula.
private static int WrapAt(int i, int n)
{
    // "+n": Moves (-n..) up to (0..).
    return (i + n) % n;
}

Aqui está uma implementação simples do Python 3 com base nesta resposta (que, por sua vez, se baseia na solução proposta na resposta aceita )

def is_clockwise(points):
    # points is your list (or array) of 2d points.
    assert len(points) > 0
    s = 0.0
    for p1, p2 in zip(points, points[1:] + [points[0]]):
        s += (p2[0] - p1[0]) * (p2[1] + p1[1])
    return s > 0.0

encontre o centro de massa desses pontos.

suponha que existam linhas deste ponto para seus pontos.

Encontre o ângulo entre duas linhas para a linha0 linha1

do que para as linhas 1 e 2

...

...

se esse ângulo estiver aumentando monotonicamente do que no sentido anti-horário,

caso contrário, se diminuir monotonicamente, é no sentido horário

mais (não é monotônico)

você não pode decidir, então não é sábio