Admito desde já que esta resposta não responde à pergunta original, a de geralmente poder acessar o Manifesto. No entanto, se o que é realmente necessário é ler um dos vários atributos "padrão" do Manifest, a solução a seguir é muito mais simples do que as postadas acima. Então, espero que o moderador permita. Observe que esta solução está no Kotlin, não no Java, mas eu esperaria que uma porta para Java fosse trivial. (Embora eu admita que não conheço o equivalente em Java de ".`package`".
No meu caso, eu queria ler o atributo "Implementation-Version", então comecei com as soluções fornecidas acima para obter o fluxo e, em seguida, li-o para obter o valor. Enquanto essa solução funcionava, um colega de trabalho revisando meu código me mostrou uma maneira mais fácil de fazer o que eu queria. Observe que esta solução está no Kotlin, não no Java.
val myPackage = MyApplication::class.java.`package`
val implementationVersion = myPackage.implementationVersion
Mais uma vez, observe que isso não responde à pergunta original, em particular "Export-package" não parece ser um dos atributos suportados. Dito isto, existe um myPackage.name que retorna um valor. Talvez alguém que entenda isso mais do que eu possa comentar se isso retorna o valor que o pôster original está solicitando.