Qual é a melhor maneira de obter todos os divisores de um número?

Esta é a maneira muito estúpida:

def divisorGenerator(n):
    for i in xrange(1,n/2+1):
        if n%i == 0: yield i
    yield n

O resultado que gostaria de obter é semelhante a este, mas gostaria de um algoritmo mais inteligente (este é muito lento e burro :-)

Posso encontrar os fatores primos e sua multiplicidade com rapidez suficiente. Tenho um gerador que gera fator desta forma:

(fator1, multiplicidade1)
(fator2, multiplicidade2)
(fator3, multiplicidade3)
e assim por diante ...

ou seja, a saída de

for i in factorGenerator(100):
    print i

é:

(2, 2)
(5, 2)

Não sei o quanto isso é útil para o que quero fazer (codifiquei para outros problemas), de qualquer forma, gostaria de uma maneira mais inteligente de fazer

for i in divisorGen(100):
    print i

envie este:

1
2
4
5
10
20
25
50
100

ATUALIZAÇÃO: Muito obrigado a Greg Hewgill e seu "jeito inteligente" :) Calculando todos os divisores de 100000000 levou 0,01s com seu caminho contra os 39s que o modo idiota pegou na minha máquina, muito legal: D

ATUALIZAÇÃO 2: Pare de dizer que esta é uma duplicata desta postagem. Calcular o número do divisor de um determinado número não precisa calcular todos os divisores. É um problema diferente, se você acha que não é, então procure por "Função Divisor" na wikipedia. Leia as perguntas e a resposta antes de postar, se você não entende qual é o assunto, simplesmente não acrescente respostas inúteis e já dadas.

Dada a sua factorGeneratorfunção, aqui está um divisorGenque deve funcionar:

def divisorGen(n):
    factors = list(factorGenerator(n))
    nfactors = len(factors)
    f = [0] * nfactors
    while True:
        yield reduce(lambda x, y: x*y, [factors[x][0]**f[x] for x in range(nfactors)], 1)
        i = 0
        while True:
            f[i] += 1
            if f[i] <= factors[i][1]:
                break
            f[i] = 0
            i += 1
            if i >= nfactors:
                return

A eficiência geral desse algoritmo dependerá inteiramente da eficiência do factorGenerator.

Para expandir o que Shimi disse, você deve executar seu loop apenas de 1 até a raiz quadrada de n. Então, para encontrar o par, faça n / i, e isso cobrirá todo o espaço do problema.

Como também foi observado, este é um problema NP, ou 'difícil'. A busca exaustiva, da maneira como você a está fazendo, é tão boa quanto possível para respostas garantidas. Esse fato é usado por algoritmos de criptografia e similares para ajudar a protegê-los. Se alguém resolvesse este problema, a maior parte, senão toda a nossa comunicação 'segura' atual, se tornaria insegura.

Código Python:

import math

def divisorGenerator(n):
    large_divisors = []
    for i in xrange(1, int(math.sqrt(n) + 1)):
        if n % i == 0:
            yield i
            if i*i != n:
                large_divisors.append(n / i)
    for divisor in reversed(large_divisors):
        yield divisor

print list(divisorGenerator(100))

Que deve gerar uma lista como:

[1, 2, 4, 5, 10, 20, 25, 50, 100]

Embora já existam muitas soluções para isso, eu realmente tenho que postar isso :)

Esta está:

• legível
• curto
• independente, pronto para copiar e colar
• rápido (em casos com muitos fatores primos e divisores,> 10 vezes mais rápido do que a solução aceita)
• compatível com python3, python2 e pypy

Código:

def divisors(n):
    # get factors and their counts
    factors = {}
    nn = n
    i = 2
    while i*i <= nn:
        while nn % i == 0:
            factors[i] = factors.get(i, 0) + 1
            nn //= i
        i += 1
    if nn > 1:
        factors[nn] = factors.get(nn, 0) + 1

    primes = list(factors.keys())

    # generates factors from primes[k:] subset
    def generate(k):
        if k == len(primes):
            yield 1
        else:
            rest = generate(k+1)
            prime = primes[k]
            for factor in rest:
                prime_to_i = 1
                # prime_to_i iterates prime**i values, i being all possible exponents
                for _ in range(factors[prime] + 1):
                    yield factor * prime_to_i
                    prime_to_i *= prime

    # in python3, `yield from generate(0)` would also work
    for factor in generate(0):
        yield factor

Eu acho que você pode parar em math.sqrt(n) vez de n / 2.

Vou dar um exemplo para que você possa entender facilmente. Agora o sqrt(28)é 5.29por isso ceil(5.29)será 6. Então, eu se eu vou parar em 6 então eu pode obter todos os divisores. Quão?

Primeiro veja o código e depois a imagem:

import math
def divisors(n):
    divs = [1]
    for i in xrange(2,int(math.sqrt(n))+1):
        if n%i == 0:
            divs.extend([i,n/i])
    divs.extend([n])
    return list(set(divs))

Agora, veja a imagem abaixo:

Digamos que eu já tenha adicionado 1à minha lista de divisores e comece com i=2isso

Portanto, no final de todas as iterações, conforme adicionei o quociente e o divisor à minha lista, todos os divisores de 28 são preenchidos.

Fonte: Como determinar os divisores de um número

Gosto da solução de Greg, mas gostaria que fosse mais parecida com python. Acho que seria mais rápido e legível; então, depois de algum tempo codificando, descobri isso.

As duas primeiras funções são necessárias para fazer o produto cartesiano das listas. E pode ser reutilizado sempre que houver esse problema. A propósito, tive que programar sozinho, se alguém souber de uma solução padrão para esse problema, sinta-se à vontade para entrar em contato comigo.

"Factorgenerator" agora retorna um dicionário. E então o dicionário é alimentado em "divisores", que o usa para gerar primeiro uma lista de listas, onde cada lista é a lista dos fatores da forma p ^ n com p '. Em seguida, fazemos o produto cartesiano dessas listas e, finalmente, usamos a solução de Greg para gerar o divisor. Nós os classificamos e os devolvemos.

Eu testei e parece ser um pouco mais rápido que a versão anterior. Eu testei como parte de um programa maior, então não posso dizer o quanto é mais rápido.

Pietro Speroni (pietrosperoni dot it)

from math import sqrt


##############################################################
### cartesian product of lists ##################################
##############################################################

def appendEs2Sequences(sequences,es):
    result=[]
    if not sequences:
        for e in es:
            result.append([e])
    else:
        for e in es:
            result+=[seq+[e] for seq in sequences]
    return result


def cartesianproduct(lists):
    """
    given a list of lists,
    returns all the possible combinations taking one element from each list
    The list does not have to be of equal length
    """
    return reduce(appendEs2Sequences,lists,[])

##############################################################
### prime factors of a natural ##################################
##############################################################

def primefactors(n):
    '''lists prime factors, from greatest to smallest'''  
    i = 2
    while i<=sqrt(n):
        if n%i==0:
            l = primefactors(n/i)
            l.append(i)
            return l
        i+=1
    return [n]      # n is prime


##############################################################
### factorization of a natural ##################################
##############################################################

def factorGenerator(n):
    p = primefactors(n)
    factors={}
    for p1 in p:
        try:
            factors[p1]+=1
        except KeyError:
            factors[p1]=1
    return factors

def divisors(n):
    factors = factorGenerator(n)
    divisors=[]
    listexponents=[map(lambda x:k**x,range(0,factors[k]+1)) for k in factors.keys()]
    listfactors=cartesianproduct(listexponents)
    for f in listfactors:
        divisors.append(reduce(lambda x, y: x*y, f, 1))
    divisors.sort()
    return divisors



print divisors(60668796879)

PS, é a primeira vez que estou postando no stackoverflow. Estou ansioso por qualquer feedback.

Esta é uma maneira inteligente e rápida de fazer isso para números até e cerca de 10 ** 16 no Python 3.6 puro,

from itertools import compress

def primes(n):
    """ Returns  a list of primes < n for n > 2 """
    sieve = bytearray([True]) * (n//2)
    for i in range(3,int(n**0.5)+1,2):
        if sieve[i//2]:
            sieve[i*i//2::i] = bytearray((n-i*i-1)//(2*i)+1)
    return [2,*compress(range(3,n,2), sieve[1:])]

def factorization(n):
    """ Returns a list of the prime factorization of n """
    pf = []
    for p in primeslist:
      if p*p > n : break
      count = 0
      while not n % p:
        n //= p
        count += 1
      if count > 0: pf.append((p, count))
    if n > 1: pf.append((n, 1))
    return pf

def divisors(n):
    """ Returns an unsorted list of the divisors of n """
    divs = [1]
    for p, e in factorization(n):
        divs += [x*p**k for k in range(1,e+1) for x in divs]
    return divs

n = 600851475143
primeslist = primes(int(n**0.5)+1) 
print(divisors(n))

Adaptado do CodeReview , aqui está uma variante que funciona com num=1!

from itertools import product
import operator

def prod(ls):
   return reduce(operator.mul, ls, 1)

def powered(factors, powers):
   return prod(f**p for (f,p) in zip(factors, powers))


def divisors(num) :

   pf = dict(prime_factors(num))
   primes = pf.keys()
   #For each prime, possible exponents
   exponents = [range(i+1) for i in pf.values()]
   return (powered(primes,es) for es in product(*exponents))

Vou apenas adicionar uma versão ligeiramente revisada do Anivarth (como acredito que seja a mais pítônica) para referência futura.

from math import sqrt

def divisors(n):
    divs = {1,n}
    for i in range(2,int(sqrt(n))+1):
        if n%i == 0:
            divs.update((i,n//i))
    return divs

Velha pergunta, mas aqui está minha opinião:

def divs(n, m):
    if m == 1: return [1]
    if n % m == 0: return [m] + divs(n, m - 1)
    return divs(n, m - 1)

Você pode fazer proxy com:

def divisorGenerator(n):
    for x in reversed(divs(n, n)):
        yield x

NOTA: Para idiomas que suportam, isso pode ser recursivo.

Supondo que a factorsfunção retorne os fatores de n (por exemplo, factors(60)retorna a lista [2, 2, 3, 5]), aqui está uma função para calcular os divisores de n :

function divisors(n)
    divs := [1]
    for fact in factors(n)
        temp := []
        for div in divs
            if fact * div not in divs
                append fact * div to temp
        divs := divs + temp
    return divs

Aqui está minha solução. Parece ser burro, mas funciona bem ... e eu estava tentando encontrar todos os divisores adequados, então o loop começou em i = 2.

import math as m 

def findfac(n):
    faclist = [1]
    for i in range(2, int(m.sqrt(n) + 2)):
        if n%i == 0:
            if i not in faclist:
                faclist.append(i)
                if n/i not in faclist:
                    faclist.append(n/i)
    return facts

Se você só se preocupa em usar as compreensões de lista e nada mais importa para você!

from itertools import combinations
from functools import reduce

def get_devisors(n):
    f = [f for f,e in list(factorGenerator(n)) for i in range(e)]
    fc = [x for l in range(len(f)+1) for x in combinations(f, l)]
    devisors = [1 if c==() else reduce((lambda x, y: x * y), c) for c in set(fc)]
    return sorted(devisors)

Se o seu PC tem muita memória, uma única linha bruta pode ser rápida o suficiente com numpy:

N = 10000000; tst = np.arange(1, N); tst[np.mod(N, tst) == 0]
Out: 
array([      1,       2,       4,       5,       8,      10,      16,
            20,      25,      32,      40,      50,      64,      80,
           100,     125,     128,     160,     200,     250,     320,
           400,     500,     625,     640,     800,    1000,    1250,
          1600,    2000,    2500,    3125,    3200,    4000,    5000,
          6250,    8000,   10000,   12500,   15625,   16000,   20000,
         25000,   31250,   40000,   50000,   62500,   78125,   80000,
        100000,  125000,  156250,  200000,  250000,  312500,  400000,
        500000,  625000, 1000000, 1250000, 2000000, 2500000, 5000000])

Demora menos de 1 segundo no meu PC lento.

Minha solução via função de gerador é:

def divisor(num):
    for x in range(1, num + 1):
        if num % x == 0:
            yield x
    while True:
        yield None

return [x for x in range(n+1) if n/x==int(n/x)]

Para mim, isso funciona bem e também é limpo (Python 3)

def divisors(number):
    n = 1
    while(n<number):
        if(number%n==0):
            print(n)
        else:
            pass
        n += 1
    print(number)

Não é muito rápido, mas retorna os divisores linha por linha conforme desejado. Você também pode fazer list.append (n) e list.append (número) se realmente quiser