Basta usar o seletor de classe comum.
$('#my_id .my_class')
Não importa se o elemento também possui outras classes. Ele tem a classe .my_class e está em algum lugar dentro de #my_id , então ele vai corresponder a esse seletor.
Em relação ao desempenho
De acordo com a documentação de desempenho do seletor jQuery , é mais rápido usar os dois seletores separadamente, como este:
$('#my_id').find('.my_class')
Aqui está a parte relevante da documentação:
Seletores baseados em ID
// Fast:
$( "#container div.robotarm" );
// Super-fast:
$( "#container" ).find( "div.robotarm" );
A .find()abordagem é mais rápida porque a primeira seleção é tratada sem passar pelo mecanismo do seletor Sizzle - as seleções apenas de ID são feitas usando document.getElementById(), que é extremamente rápido porque é nativo do navegador.
Selecionar por ID ou apenas por classe (entre outras coisas) invoca funções fornecidas pelo navegador, como as document.getElementById()quais são bastante rápidas, enquanto usar um seletor descendente invoca o motor Sizzle conforme mencionado que, embora rápido, é mais lento do que a alternativa sugerida.