É log (n!) = Θ (n · log (n))?

Devo mostrar que log ( n !) = Θ ( n · log ( n )) .

Foi dada uma dica de que eu deveria mostrar o limite superior com n ⁿ e mostrar o limite inferior com ( n / 2) ^{( n / 2)} . Isso não parece tão intuitivo para mim. Por que seria esse o caso? Definitivamente, posso ver como converter n ⁿ para n · log ( n ) (isto é, registrar os dois lados de uma equação), mas isso é meio que retrocesso.

Qual seria a abordagem correta para resolver esse problema? Devo desenhar a árvore de recursão? Não há nada recursivo nisso, então isso não parece uma abordagem provável.

Lembre-se disso

log(n!) = log(1) + log(2) + ... + log(n-1) + log(n)

Você pode obter o limite superior por

log(1) + log(2) + ... + log(n) <= log(n) + log(n) + ... + log(n)
                                = n*log(n)

E você pode obter o limite inferior fazendo uma coisa semelhante depois de jogar fora a primeira metade da soma:

log(1) + ... + log(n/2) + ... + log(n) >= log(n/2) + ... + log(n) 
                                       = log(n/2) + log(n/2+1) + ... + log(n-1) + log(n)
                                       >= log(n/2) + ... + log(n/2)
                                        = n/2 * log(n/2) 

Sei que essa é uma pergunta muito antiga, com uma resposta aceita, mas nenhuma dessas respostas realmente usa a abordagem sugerida pela dica.

É um argumento bastante simples:

n!(= 1 * 2 * 3 * ... * n) é um produto de nnúmeros cada um menor ou igual a n. Portanto, é menor que o produto de nnúmeros todos iguais a n; ou seja, n^n.

Metade dos números - ou seja, n/2deles - no n!produto é maior ou igual a n/2. Portanto, seu produto é maior que o produto de n/2números todos iguais a n/2; ie (n/2)^(n/2).

Leve os logs para estabelecer o resultado.

Desculpe, não sei como usar a sintaxe do LaTeX no stackoverflow.

Veja a aproximação de Stirling :

ln (n!) = n * ln (n) - n + O (ln (n))

onde os dois últimos termos são menos significativos que o primeiro.

Para o limite inferior,

lg(n!) = lg(n)+lg(n-1)+...+lg(n/2)+...+lg2+lg1
       >= lg(n/2)+lg(n/2)+...+lg(n/2)+ ((n-1)/2) lg 2 (leave last term lg1(=0); replace first n/2 terms as lg(n/2); replace last (n-1)/2 terms as lg2 which will make cancellation easier later)
       = n/2 lg(n/2) + (n/2) lg 2 - 1/2 lg 2
       = n/2 lg n - (n/2)(lg 2) + n/2 - 1/2
       = n/2 lg n - 1/2

lg (n!)> = (1/2) (n lg n - 1)

Combinando os dois limites:

1/2 (n lg n - 1) <= lg (n!) <= N lg n

Escolhendo constante de limite inferior maior que (1/2), podemos compensar -1 dentro do suporte.

Assim lg (n!) = Teta (n lg n)

Ajudando você ainda mais, onde Mick Sharpe o deixou:

Sua derivação é bastante simples: consulte http://en.wikipedia.org/wiki/Logarithm -> Theory Group

log (n!) = log (n * (n-1) * (n-2) * ... * 2 * 1) = log (n) + log (n-1) + ... + log (2 ) + log (1)

Pense em n como infinitamente grande . O que é infinito menos um? ou menos dois? etc.

log (inf) + log (inf) + log (inf) + ... = inf * log (inf)

E então pense em inf como n.

Obrigado, achei suas respostas convincentes, mas no meu caso, devo usar as propriedades Θ :

log(n!) = Θ(n·log n) =>  log(n!) = O(n log n) and log(n!) = Ω(n log n)

para verificar o problema, encontrei esta web, onde você tem todo o processo explicado: http://www.mcs.sdsmt.edu/ecorwin/cs372/handouts/theta_n_factorial.htm

Isso pode ajudar:

e ln (x) = x

e

(l m ) n = l m * n

http://en.wikipedia.org/wiki/Stirling%27s_approximation A aproximação de Stirling pode ajudá-lo. É realmente útil para lidar com problemas em fatoriais relacionados a grandes números da ordem de 10 ^ 10 e acima.