Receio que o WhatsApp para Android atualmente não suporte a chamada de um navegador da web.
Eu tinha o mesmo requisito para o meu projeto atual e, como não consegui encontrar nenhuma informação adequada, acabei baixando o arquivo APK.
No Android, se um aplicativo deseja ser chamado a partir de um navegador da Web, ele precisa definir uma Atividade com a categoria android.intent.category.BROWSABLE.
Você pode encontrar mais informações sobre isso aqui: https://developers.google.com/chrome/mobile/docs/intents
Se você der uma olhada no arquivo AndroidManifest.xml do WhatsApp, a única atividade com a categoria BROWSABLE é essa:
<activity android:name="com.whatsapp.Conversation" android:configChanges="keyboard|keyboardHidden|orientation|screenLayout|uiMode|screenSize|smallestScreenSize" android:windowSoftInputMode="stateUnchanged">
<intent-filter>
<action android:name="android.intent.action.SENDTO" />
<category android:name="android.intent.category.DEFAULT" />
<category android:name="android.intent.category.BROWSABLE" />
<data android:scheme="sms" />
<data android:scheme="smsto" />
</intent-filter>
</activity>
Eu brinco com isso há um tempo e não consegui fazê-lo funcionar. O máximo que consegui foi abrir o aplicativo WhatsApp no Chrome, mas não consegui descobrir uma maneira de definir o conteúdo e o destinatário da mensagem.
Como não está documentado pela equipe do WhatsApp, acho que ainda está em andamento. Parece que no futuro o WhatsApp também lidará com SMS.
A única maneira de obter mais informações é entrar em contato com a equipe de desenvolvedores do WhatsApp, o que eu tentei, mas ainda estou esperando por uma resposta.
Saudações!