Para aqueles que usam o projeto .NET Standard em combinação com projetos do .NET Framework :
Da maneira .NET Standard, os pacotes incluídos em um projeto .NET Standard serão usados corretamente em outros projetos .NET Core e .NET Standard.
Na maneira do .NET Framework, se você estiver se referindo a um projeto .NET Standard de um projeto .NET Framework (MVC), precisará baixar e instalar manualmente os mesmos pacotes de nuget.
Portanto, a resposta para minha pergunta foi que eu tinha que baixar e instalar Microsoft.AspNet.WebApi.Client
no projeto web (.NET Framework) que está usando um projeto .NET Standard onde Microsoft.AspNet.WebApi.Client
é necessário. Na verdade, eu já tinha isso instalado, mas havia uma diferença de versão.
Acabei de adicionar esta resposta para que outras pessoas vejam, ela pode não responder diretamente à pergunta da OP, mas economizou tempo, verificando-a primeiro em vez de fazer as respostas mais votadas.