Para aqueles que usam o projeto .NET Standard em combinação com projetos do .NET Framework :
Da maneira .NET Standard, os pacotes incluídos em um projeto .NET Standard serão usados corretamente em outros projetos .NET Core e .NET Standard.
Na maneira do .NET Framework, se você estiver se referindo a um projeto .NET Standard de um projeto .NET Framework (MVC), precisará baixar e instalar manualmente os mesmos pacotes de nuget.
Portanto, a resposta para minha pergunta foi que eu tinha que baixar e instalar Microsoft.AspNet.WebApi.Clientno projeto web (.NET Framework) que está usando um projeto .NET Standard onde Microsoft.AspNet.WebApi.Clienté necessário. Na verdade, eu já tinha isso instalado, mas havia uma diferença de versão.
Acabei de adicionar esta resposta para que outras pessoas vejam, ela pode não responder diretamente à pergunta da OP, mas economizou tempo, verificando-a primeiro em vez de fazer as respostas mais votadas.