Como encontrar o k-ésimo elemento em uma matriz não classificada de comprimento n em O (n)?

Eu acredito que existe uma maneira de encontrar o k-ésimo elemento em uma matriz não classificada de comprimento n em O (n). Ou talvez seja "esperado" O (n) ou algo assim. Como podemos fazer isso?

Isso é chamado de encontrar a estatística de ordem k-ésima . Há um algoritmo muito simples randomizado (chamado QuickSelect ) tomando O(n)tempo médio, O(n^2)pior momento caso, e um algoritmo não-randomizado muito complicado (chamado introselect ), tendo O(n)pior momento caso. Há algumas informações na Wikipedia , mas não é muito bom.

Tudo o que você precisa está nesses slides do powerpoint . Apenas para extrair o algoritmo básico do O(n)pior algoritmo (introseleção):

Select(A,n,i):
    Divide input into ⌈n/5⌉ groups of size 5.

    /* Partition on median-of-medians */
    medians = array of each group’s median.
    pivot = Select(medians, ⌈n/5⌉, ⌈n/10⌉)
    Left Array L and Right Array G = partition(A, pivot)

    /* Find ith element in L, pivot, or G */
    k = |L| + 1
    If i = k, return pivot
    If i < k, return Select(L, k-1, i)
    If i > k, return Select(G, n-k, i-k)

Também é muito bem detalhado no livro Introdução aos algoritmos de Cormen et al.

Se você deseja um O(n)algoritmo verdadeiro , ao contrário de O(kn)algo parecido, use a seleção rápida (é basicamente o quicksort onde você joga fora a partição na qual não está interessado). Meu professor tem um ótimo artigo, com a análise de tempo de execução: ( referência )

O algoritmo QuickSelect encontra rapidamente o k-ésimo elemento menor de uma matriz não classificada de nelementos. Como é um algoritmo randomizado , calculamos o pior tempo de execução esperado .

Aqui está o algoritmo.

QuickSelect(A, k)
  let r be chosen uniformly at random in the range 1 to length(A)
  let pivot = A[r]
  let A1, A2 be new arrays
  # split into a pile A1 of small elements and A2 of big elements
  for i = 1 to n
    if A[i] < pivot then
      append A[i] to A1
    else if A[i] > pivot then
      append A[i] to A2
    else
      # do nothing
  end for
  if k <= length(A1):
    # it's in the pile of small elements
    return QuickSelect(A1, k)
  else if k > length(A) - length(A2)
    # it's in the pile of big elements
    return QuickSelect(A2, k - (length(A) - length(A2))
  else
    # it's equal to the pivot
    return pivot

Qual é o tempo de execução desse algoritmo? Se o adversário jogar moedas para nós, podemos descobrir que o pivô é sempre o elemento maior e ké sempre 1, dando um tempo de execução de

T(n) = Theta(n) + T(n-1) = Theta(n2)

Mas se as escolhas são realmente aleatórias, o tempo de execução esperado é dado por

T(n) <= Theta(n) + (1/n) ∑i=1 to nT(max(i, n-i-1))

onde estamos assumindo que não é inteiramente razoável que a recursão sempre chegue ao maior de A1ou A2.

Vamos adivinhar isso T(n) <= anpara alguns a. Então nós temos

T(n) 
 <= cn + (1/n) ∑i=1 to nT(max(i-1, n-i))
 = cn + (1/n) ∑i=1 to floor(n/2) T(n-i) + (1/n) ∑i=floor(n/2)+1 to n T(i)
 <= cn + 2 (1/n) ∑i=floor(n/2) to n T(i)
 <= cn + 2 (1/n) ∑i=floor(n/2) to n ai

e agora, de alguma forma, temos que obter a soma horrenda à direita do sinal de mais para absorver cna esquerda. Se nós apenas ligá-lo como , ficamos grosseiramente . Mas isso é muito grande - não há espaço para extrair um extra . Então, vamos expandir a soma usando a fórmula da série aritmética:2(1/n) ∑i=n/2 to n an2(1/n)(n/2)an = ancn

∑i=floor(n/2) to n i  
 = ∑i=1 to n i - ∑i=1 to floor(n/2) i  
 = n(n+1)/2 - floor(n/2)(floor(n/2)+1)/2  
 <= n2/2 - (n/4)2/2  
 = (15/32)n2

onde tiramos vantagem de n ser "suficientemente grande" para substituir os floor(n/2)fatores feios pelo muito mais limpo (e menor) n/4. Agora podemos continuar com

cn + 2 (1/n) ∑i=floor(n/2) to n ai,
 <= cn + (2a/n) (15/32) n2
 = n (c + (15/16)a)
 <= an

fornecido a > 16c.

Isso dá T(n) = O(n). É claro Omega(n), então chegamos T(n) = Theta(n).

Um Google rápido nesse ('kº maior conjunto de elementos') retornou isso: http://discuss.joelonsoftware.com/default.asp?interview.11.509587.17

"Make one pass through tracking the three largest values so far." 

(foi especificamente para o maior 3D)

e esta resposta:

Build a heap/priority queue.  O(n)
Pop top element.  O(log n)
Pop top element.  O(log n)
Pop top element.  O(log n)

Total = O(n) + 3 O(log n) = O(n)

Você gosta do quicksort. Escolha um elemento aleatoriamente e empurre tudo para cima ou para baixo. Nesse ponto, você saberá qual elemento realmente escolheu e, se for o k-ésimo elemento que você fez, caso contrário, repita com a posição (superior ou inferior) que o k-ésimo elemento. Estatisticamente, o tempo leva para encontrar o k-ésimo elemento cresce com n, O (n).

O programa que acompanha a análise de algoritmos fornece uma versão que é O (n), embora o autor afirme que o fator constante é tão alto, você provavelmente preferiria o método ingênuo de classificar a lista e selecionar.

Eu respondi a carta da sua pergunta :)

A biblioteca padrão C ++ possui quase exatamente essa chamada de funçãonth_element , embora modifique seus dados. Ele esperava tempo de execução linear, O (N), e também faz uma classificação parcial.

const int N = ...;
double a[N];
// ... 
const int m = ...; // m < N
nth_element (a, a + m, a + N);
// a[m] contains the mth element in a

Embora não tenha muita certeza sobre a complexidade de O (n), mas certamente estará entre O (n) e nLog (n). Certifique-se também de estar mais próximo de O (n) do que nLog (n). Função é escrita em Java

public int quickSelect(ArrayList<Integer>list, int nthSmallest){
    //Choose random number in range of 0 to array length
    Random random =  new Random();
    //This will give random number which is not greater than length - 1
    int pivotIndex = random.nextInt(list.size() - 1); 

    int pivot = list.get(pivotIndex);

    ArrayList<Integer> smallerNumberList = new ArrayList<Integer>();
    ArrayList<Integer> greaterNumberList = new ArrayList<Integer>();

    //Split list into two. 
    //Value smaller than pivot should go to smallerNumberList
    //Value greater than pivot should go to greaterNumberList
    //Do nothing for value which is equal to pivot
    for(int i=0; i<list.size(); i++){
        if(list.get(i)<pivot){
            smallerNumberList.add(list.get(i));
        }
        else if(list.get(i)>pivot){
            greaterNumberList.add(list.get(i));
        }
        else{
            //Do nothing
        }
    }

    //If smallerNumberList size is greater than nthSmallest value, nthSmallest number must be in this list 
    if(nthSmallest < smallerNumberList.size()){
        return quickSelect(smallerNumberList, nthSmallest);
    }
    //If nthSmallest is greater than [ list.size() - greaterNumberList.size() ], nthSmallest number must be in this list
    //The step is bit tricky. If confusing, please see the above loop once again for clarification.
    else if(nthSmallest > (list.size() - greaterNumberList.size())){
        //nthSmallest will have to be changed here. [ list.size() - greaterNumberList.size() ] elements are already in 
        //smallerNumberList
        nthSmallest = nthSmallest - (list.size() - greaterNumberList.size());
        return quickSelect(greaterNumberList,nthSmallest);
    }
    else{
        return pivot;
    }
}

Eu implementei encontrar o kth mínimo em n elementos não classificados usando programação dinâmica, especificamente o método de torneio. O tempo de execução é O (n + klog (n)). O mecanismo usado está listado como um dos métodos na página da Wikipedia sobre Algoritmo de seleção (conforme indicado em uma postagem acima). Você pode ler sobre o algoritmo e também encontrar o código (Java) na minha página do blog Finding Kth mínima . Além disso, a lógica pode fazer a ordem parcial da lista - retornar primeiro K min (ou max) no tempo O (klog (n)).

Embora o código fornecido resulte no mínimo, é possível usar uma lógica semelhante para encontrar o máximo em O (klog (n)), ignorando o pré-trabalho feito para criar a árvore do torneio.

Você pode fazer isso em O (n + kn) = O (n) (para constante k) por tempo e O (k) por espaço, acompanhando os k maiores elementos que você já viu.

Para cada elemento da matriz, você pode digitalizar a lista de k maior e substituir o menor elemento pelo novo, se for maior.

A solução de pilha prioritária de Warren é mais clara.

Seleção rápida sexy em Python

def quickselect(arr, k):
    '''
     k = 1 returns first element in ascending order.
     can be easily modified to return first element in descending order
    '''

    r = random.randrange(0, len(arr))

    a1 = [i for i in arr if i < arr[r]] '''partition'''
    a2 = [i for i in arr if i > arr[r]]

    if k <= len(a1):
        return quickselect(a1, k)
    elif k > len(arr)-len(a2):
        return quickselect(a2, k - (len(arr) - len(a2)))
    else:
        return arr[r]

Encontre a mediana da matriz em tempo linear e use o procedimento de partição exatamente como no quicksort para dividir a matriz em duas partes, valores à esquerda da mediana menor (<) que a mediana e à direita maior que (>) mediana , isso também pode ser feito em tempo linear, agora, vá para a parte da matriz onde está o k-elemento. Agora a recorrência se torna: T (n) = T (n / 2) + cn, o que me dá O (n) overal.

Abaixo está o link para a implementação completa, com uma explicação bastante extensa de como o algoritmo para encontrar o K-elemento em um algoritmo não classificado funciona. A idéia básica é particionar a matriz como no QuickSort. Mas, para evitar casos extremos (por exemplo, quando o menor elemento é escolhido como pivô em todas as etapas, para que o algoritmo degenere em O (n ^ 2) tempo de execução), é aplicada uma seleção de pivô especial, chamada algoritmo de mediana das medianas. Toda a solução é executada em O (n) tempo no pior e no caso médio.

Aqui está o link para o artigo completo (trata-se de encontrar Kth menor elemento, mas o princípio é o mesmo para encontrar Kth maior ):

Localizando o menor elemento em uma matriz não classificada

De acordo com este artigo, Encontrando o Kº maior item em uma lista de n itens, o algoritmo a seguir levará O(n)tempo na pior das hipóteses.

1. Divida a matriz em n / 5 listas de 5 elementos cada.
2. Encontre a mediana em cada sub-matriz de 5 elementos.
3. Encontre recursivamente a mediana de todas as medianas, vamos chamá-la de M
4. Particionar a matriz em duas sub-matrizes A primeira sub-matriz contém os elementos maiores que M, digamos que essa sub-matriz seja a1, enquanto outra sub-matriz contém os elementos menores que M., vamos chamar essa sub-matriz a2.
5. Se k <= | a1 |, retorne a seleção (a1, k).
6. Se k− 1 = | a1 |, retorne M.
7. Se k> | a1 | + 1, retorna a seleção (a2, k −a1 - 1).

Análise: Como sugerido no artigo original:

Usamos a mediana para particionar a lista em duas metades (a primeira metade, se k <= n/2, e a segunda metade, caso contrário). Esse algoritmo leva tempo cnno primeiro nível de recursão para alguma constante c, cn/2no próximo nível (desde que recursamos em uma lista de tamanho n / 2), cn/4no terceiro nível e assim por diante. O tempo total gasto é cn + cn/2 + cn/4 + .... = 2cn = o(n).

Por que o tamanho da partição é obtido 5 e não 3?

Como mencionado no artigo original :

Dividir a lista por 5 garante uma divisão no pior dos casos de 70 a 30. Pelo menos metade das medianas é maior que a mediana, portanto, pelo menos metade dos n / 5 blocos tem pelo menos 3 elementos e isso gera uma 3n/10divisão, que significa que a outra partição é 7n / 10 no pior caso. Isso dá T(n) = T(n/5)+T(7n/10)+O(n). Since n/5+7n/10 < 1, o pior dos casos é o tempo de execução O(n).

Agora eu tentei implementar o algoritmo acima como:

public static int findKthLargestUsingMedian(Integer[] array, int k) {
        // Step 1: Divide the list into n/5 lists of 5 element each.
        int noOfRequiredLists = (int) Math.ceil(array.length / 5.0);
        // Step 2: Find pivotal element aka median of medians.
        int medianOfMedian =  findMedianOfMedians(array, noOfRequiredLists);
        //Now we need two lists split using medianOfMedian as pivot. All elements in list listOne will be grater than medianOfMedian and listTwo will have elements lesser than medianOfMedian.
        List<Integer> listWithGreaterNumbers = new ArrayList<>(); // elements greater than medianOfMedian
        List<Integer> listWithSmallerNumbers = new ArrayList<>(); // elements less than medianOfMedian
        for (Integer element : array) {
            if (element < medianOfMedian) {
                listWithSmallerNumbers.add(element);
            } else if (element > medianOfMedian) {
                listWithGreaterNumbers.add(element);
            }
        }
        // Next step.
        if (k <= listWithGreaterNumbers.size()) return findKthLargestUsingMedian((Integer[]) listWithGreaterNumbers.toArray(new Integer[listWithGreaterNumbers.size()]), k);
        else if ((k - 1) == listWithGreaterNumbers.size()) return medianOfMedian;
        else if (k > (listWithGreaterNumbers.size() + 1)) return findKthLargestUsingMedian((Integer[]) listWithSmallerNumbers.toArray(new Integer[listWithSmallerNumbers.size()]), k-listWithGreaterNumbers.size()-1);
        return -1;
    }

    public static int findMedianOfMedians(Integer[] mainList, int noOfRequiredLists) {
        int[] medians = new int[noOfRequiredLists];
        for (int count = 0; count < noOfRequiredLists; count++) {
            int startOfPartialArray = 5 * count;
            int endOfPartialArray = startOfPartialArray + 5;
            Integer[] partialArray = Arrays.copyOfRange((Integer[]) mainList, startOfPartialArray, endOfPartialArray);
            // Step 2: Find median of each of these sublists.
            int medianIndex = partialArray.length/2;
            medians[count] = partialArray[medianIndex];
        }
        // Step 3: Find median of the medians.
        return medians[medians.length / 2];
    }

Para fins de conclusão, outro algoritmo faz uso da Fila prioritária e leva tempo O(nlogn).

public static int findKthLargestUsingPriorityQueue(Integer[] nums, int k) {
        int p = 0;
        int numElements = nums.length;
        // create priority queue where all the elements of nums will be stored
        PriorityQueue<Integer> pq = new PriorityQueue<Integer>();

        // place all the elements of the array to this priority queue
        for (int n : nums) {
            pq.add(n);
        }

        // extract the kth largest element
        while (numElements - k + 1 > 0) {
            p = pq.poll();
            k++;
        }

        return p;
    }

Ambos os algoritmos podem ser testados como:

public static void main(String[] args) throws IOException {
        Integer[] numbers = new Integer[]{2, 3, 5, 4, 1, 12, 11, 13, 16, 7, 8, 6, 10, 9, 17, 15, 19, 20, 18, 23, 21, 22, 25, 24, 14};
        System.out.println(findKthLargestUsingMedian(numbers, 8));
        System.out.println(findKthLargestUsingPriorityQueue(numbers, 8));
    }

Como o resultado esperado é: 18 18

Que tal esse tipo de abordagem

Mantenha a buffer of length ke a tmp_max, obtendo tmp_max é O (k) e é feito n vezes, para que algo comoO(kn)

Está certo ou estou faltando alguma coisa?

Embora não supere o caso médio de seleção rápida e o pior caso do método estatístico mediano, é bem fácil de entender e implementar.

percorra a lista. se o valor atual for maior que o maior valor armazenado, armazene-o como o maior valor e reduza 1-4 e 5 cai da lista. Caso contrário, compare-o com o número 2 e faça o mesmo. Repita, comparando-o com todos os 5 valores armazenados. isso deve fazê-lo em O (n)

eu gostaria de sugerir uma resposta

se pegarmos os primeiros k elementos e os classificarmos em uma lista vinculada de valores k

agora para todos os outros valores, mesmo para o pior caso, se fizermos a ordenação por inserção para valores rest nk, mesmo no pior caso, o número de comparações será k * (nk) e, para que os valores anteriores k sejam classificados, seja k * (k- 1) de modo que seja (nk-k) que é o (n)

Felicidades

A explicação do algoritmo mediana - de - medianas para encontrar o k-ésimo número inteiro entre n pode ser encontrada aqui: http://cs.indstate.edu/~spitla/presentation.pdf

A implementação em c ++ está abaixo:

#include <iostream>
#include <vector>
#include <algorithm>
using namespace std;

int findMedian(vector<int> vec){
//    Find median of a vector
    int median;
    size_t size = vec.size();
    median = vec[(size/2)];
    return median;
}

int findMedianOfMedians(vector<vector<int> > values){
    vector<int> medians;

    for (int i = 0; i < values.size(); i++) {
        int m = findMedian(values[i]);
        medians.push_back(m);
    }

    return findMedian(medians);
}

void selectionByMedianOfMedians(const vector<int> values, int k){
//    Divide the list into n/5 lists of 5 elements each
    vector<vector<int> > vec2D;

    int count = 0;
    while (count != values.size()) {
        int countRow = 0;
        vector<int> row;

        while ((countRow < 5) && (count < values.size())) {
            row.push_back(values[count]);
            count++;
            countRow++;
        }
        vec2D.push_back(row);
    }

    cout<<endl<<endl<<"Printing 2D vector : "<<endl;
    for (int i = 0; i < vec2D.size(); i++) {
        for (int j = 0; j < vec2D[i].size(); j++) {
            cout<<vec2D[i][j]<<" ";
        }
        cout<<endl;
    }
    cout<<endl;

//    Calculating a new pivot for making splits
    int m = findMedianOfMedians(vec2D);
    cout<<"Median of medians is : "<<m<<endl;

//    Partition the list into unique elements larger than 'm' (call this sublist L1) and
//    those smaller them 'm' (call this sublist L2)
    vector<int> L1, L2;

    for (int i = 0; i < vec2D.size(); i++) {
        for (int j = 0; j < vec2D[i].size(); j++) {
            if (vec2D[i][j] > m) {
                L1.push_back(vec2D[i][j]);
            }else if (vec2D[i][j] < m){
                L2.push_back(vec2D[i][j]);
            }
        }
    }

//    Checking the splits as per the new pivot 'm'
    cout<<endl<<"Printing L1 : "<<endl;
    for (int i = 0; i < L1.size(); i++) {
        cout<<L1[i]<<" ";
    }

    cout<<endl<<endl<<"Printing L2 : "<<endl;
    for (int i = 0; i < L2.size(); i++) {
        cout<<L2[i]<<" ";
    }

//    Recursive calls
    if ((k - 1) == L1.size()) {
        cout<<endl<<endl<<"Answer :"<<m;
    }else if (k <= L1.size()) {
        return selectionByMedianOfMedians(L1, k);
    }else if (k > (L1.size() + 1)){
        return selectionByMedianOfMedians(L2, k-((int)L1.size())-1);
    }

}

int main()
{
    int values[] = {2, 3, 5, 4, 1, 12, 11, 13, 16, 7, 8, 6, 10, 9, 17, 15, 19, 20, 18, 23, 21, 22, 25, 24, 14};

    vector<int> vec(values, values + 25);

    cout<<"The given array is : "<<endl;
    for (int i = 0; i < vec.size(); i++) {
        cout<<vec[i]<<" ";
    }

    selectionByMedianOfMedians(vec, 8);

    return 0;
}

Há também o algoritmo de seleção do Wirth , que possui uma implementação mais simples que o QuickSelect. O algoritmo de seleção do Wirth é mais lento que o QuickSelect, mas com algumas melhorias, ele se torna mais rápido.

Em mais detalhes. Usando a otimização MODIFIND de Vladimir Zabrodsky e a seleção de pivô mediana de 3 e prestando atenção às etapas finais da parte de particionamento do algoritmo, criei o seguinte algoritmo (imaginadamente chamado "LefSelect"):

#define F_SWAP(a,b) { float temp=(a);(a)=(b);(b)=temp; }

# Note: The code needs more than 2 elements to work
float lefselect(float a[], const int n, const int k) {
    int l=0, m = n-1, i=l, j=m;
    float x;

    while (l<m) {
        if( a[k] < a[i] ) F_SWAP(a[i],a[k]);
        if( a[j] < a[i] ) F_SWAP(a[i],a[j]);
        if( a[j] < a[k] ) F_SWAP(a[k],a[j]);

        x=a[k];
        while (j>k & i<k) {
            do i++; while (a[i]<x);
            do j--; while (a[j]>x);

            F_SWAP(a[i],a[j]);
        }
        i++; j--;

        if (j<k) {
            while (a[i]<x) i++;
            l=i; j=m;
        }
        if (k<i) {
            while (x<a[j]) j--;
            m=j; i=l;
        }
    }
    return a[k];
}

Nos benchmarks que fiz aqui , o LefSelect é 20 a 30% mais rápido que o QuickSelect.

Solução Haskell:

kthElem index list = sort list !! index

withShape ~[]     []     = []
withShape ~(x:xs) (y:ys) = x : withShape xs ys

sort []     = []
sort (x:xs) = (sort ls `withShape` ls) ++ [x] ++ (sort rs `withShape` rs)
  where
   ls = filter (<  x)
   rs = filter (>= x)

Isso implementa a mediana das soluções medianas usando o método withShape para descobrir o tamanho de uma partição sem realmente calculá-la.

Aqui está uma implementação em C ++ do Randomized QuickSelect. A idéia é escolher aleatoriamente um elemento pivô. Para implementar a partição aleatória, usamos uma função aleatória, rand () para gerar índice entre l e r, trocamos o elemento no índice gerado aleatoriamente pelo último elemento e, finalmente, chamamos o processo de partição padrão que usa o último elemento como pivô.

#include<iostream>
#include<climits>
#include<cstdlib>
using namespace std;

int randomPartition(int arr[], int l, int r);

// This function returns k'th smallest element in arr[l..r] using
// QuickSort based method.  ASSUMPTION: ALL ELEMENTS IN ARR[] ARE DISTINCT
int kthSmallest(int arr[], int l, int r, int k)
{
    // If k is smaller than number of elements in array
    if (k > 0 && k <= r - l + 1)
    {
        // Partition the array around a random element and
        // get position of pivot element in sorted array
        int pos = randomPartition(arr, l, r);

        // If position is same as k
        if (pos-l == k-1)
            return arr[pos];
        if (pos-l > k-1)  // If position is more, recur for left subarray
            return kthSmallest(arr, l, pos-1, k);

        // Else recur for right subarray
        return kthSmallest(arr, pos+1, r, k-pos+l-1);
    }

    // If k is more than number of elements in array
    return INT_MAX;
}

void swap(int *a, int *b)
{
    int temp = *a;
    *a = *b;
    *b = temp;
}

// Standard partition process of QuickSort().  It considers the last
// element as pivot and moves all smaller element to left of it and
// greater elements to right. This function is used by randomPartition()
int partition(int arr[], int l, int r)
{
    int x = arr[r], i = l;
    for (int j = l; j <= r - 1; j++)
    {
        if (arr[j] <= x) //arr[i] is bigger than arr[j] so swap them
        {
            swap(&arr[i], &arr[j]);
            i++;
        }
    }
    swap(&arr[i], &arr[r]); // swap the pivot
    return i;
}

// Picks a random pivot element between l and r and partitions
// arr[l..r] around the randomly picked element using partition()
int randomPartition(int arr[], int l, int r)
{
    int n = r-l+1;
    int pivot = rand() % n;
    swap(&arr[l + pivot], &arr[r]);
    return partition(arr, l, r);
}

// Driver program to test above methods
int main()
{
    int arr[] = {12, 3, 5, 7, 4, 19, 26};
    int n = sizeof(arr)/sizeof(arr[0]), k = 3;
    cout << "K'th smallest element is " << kthSmallest(arr, 0, n-1, k);
    return 0;
}

A pior complexidade de tempo da solução acima ainda é O (n2). No pior caso, a função aleatória pode sempre escolher um elemento de canto. A complexidade do tempo esperado do QuickSelect aleatório acima é Θ (n)

1. Crie a fila de prioridade.
2. Insira todos os elementos na pilha.

3. Enquete de chamada () k vezes.

   public static int getKthLargestElements(int[] arr)
   {
       PriorityQueue<Integer> pq =  new PriorityQueue<>((x , y) -> (y-x));
       //insert all the elements into heap
       for(int ele : arr)
          pq.offer(ele);
       // call poll() k times
       int i=0;
       while(i&lt;k)
        {
          int result = pq.poll();
        } 
      return result;        
   }
   

Esta é uma implementação em Javascript.

Se você liberar a restrição de que não pode modificar a matriz, poderá impedir o uso de memória extra usando dois índices para identificar a "partição atual" (no estilo quicksort clássico - http://www.nczonline.net/blog/2012/ 11/27 / ciência da computação em javascript-quicksort / ).

function kthMax(a, k){
    var size = a.length;

    var pivot = a[ parseInt(Math.random()*size) ]; //Another choice could have been (size / 2) 

    //Create an array with all element lower than the pivot and an array with all element higher than the pivot
    var i, lowerArray = [], upperArray = [];
    for (i = 0; i  < size; i++){
        var current = a[i];

        if (current < pivot) {
            lowerArray.push(current);
        } else if (current > pivot) {
            upperArray.push(current);
        }
    }

    //Which one should I continue with?
    if(k <= upperArray.length) {
        //Upper
        return kthMax(upperArray, k);
    } else {
        var newK = k - (size - lowerArray.length);

        if (newK > 0) {
            ///Lower
            return kthMax(lowerArray, newK);
        } else {
            //None ... it's the current pivot!
            return pivot;
        }   
    }
}  

Se você quiser testar o desempenho, use esta variação:

    function kthMax (a, k, logging) {
         var comparisonCount = 0; //Number of comparison that the algorithm uses
         var memoryCount = 0;     //Number of integers in memory that the algorithm uses
         var _log = logging;

         if(k < 0 || k >= a.length) {
            if (_log) console.log ("k is out of range"); 
            return false;
         }      

         function _kthmax(a, k){
             var size = a.length;
             var pivot = a[parseInt(Math.random()*size)];
             if(_log) console.log("Inputs:", a,  "size="+size, "k="+k, "pivot="+pivot);

             // This should never happen. Just a nice check in this exercise
             // if you are playing with the code to avoid never ending recursion            
             if(typeof pivot === "undefined") {
                 if (_log) console.log ("Ops..."); 
                 return false;
             }

             var i, lowerArray = [], upperArray = [];
             for (i = 0; i  < size; i++){
                 var current = a[i];
                 if (current < pivot) {
                     comparisonCount += 1;
                     memoryCount++;
                     lowerArray.push(current);
                 } else if (current > pivot) {
                     comparisonCount += 2;
                     memoryCount++;
                     upperArray.push(current);
                 }
             }
             if(_log) console.log("Pivoting:",lowerArray, "*"+pivot+"*", upperArray);

             if(k <= upperArray.length) {
                 comparisonCount += 1;
                 return _kthmax(upperArray, k);
             } else if (k > size - lowerArray.length) {
                 comparisonCount += 2;
                 return _kthmax(lowerArray, k - (size - lowerArray.length));
             } else {
                 comparisonCount += 2;
                 return pivot;
             }
     /* 
      * BTW, this is the logic for kthMin if we want to implement that... ;-)
      * 

             if(k <= lowerArray.length) {
                 return kthMin(lowerArray, k);
             } else if (k > size - upperArray.length) {
                 return kthMin(upperArray, k - (size - upperArray.length));
             } else 
                 return pivot;
     */            
         }

         var result = _kthmax(a, k);
         return {result: result, iterations: comparisonCount, memory: memoryCount};
     }

O restante do código é apenas para criar um playground:

    function getRandomArray (n){
        var ar = [];
        for (var i = 0, l = n; i < l; i++) {
            ar.push(Math.round(Math.random() * l))
        }

        return ar;
    }

    //Create a random array of 50 numbers
    var ar = getRandomArray (50);   

Agora, execute seus testes algumas vezes. Por causa do Math.random (), ele sempre produz resultados diferentes:

    kthMax(ar, 2, true);
    kthMax(ar, 2);
    kthMax(ar, 2);
    kthMax(ar, 2);
    kthMax(ar, 2);
    kthMax(ar, 2);
    kthMax(ar, 34, true);
    kthMax(ar, 34);
    kthMax(ar, 34);
    kthMax(ar, 34);
    kthMax(ar, 34);
    kthMax(ar, 34);

Se você testá-lo algumas vezes, poderá ver, mesmo empiricamente, que o número de iterações é, em média, O (n) ~ = constante * n e o valor de k não afeta o algoritmo.

Eu vim com esse algoritmo e parece ser O (n):

Digamos k = 3 e queremos encontrar o terceiro maior item da matriz. Eu criaria três variáveis ​​e compararia cada item da matriz com o mínimo dessas três variáveis. Se o item da matriz for maior que o mínimo, substituiríamos a variável min pelo valor do item. Continuamos a mesma coisa até o final da matriz. O mínimo de nossas três variáveis ​​é o terceiro maior item da matriz.

define variables a=0, b=0, c=0
iterate through the array items
    find minimum a,b,c
    if item > min then replace the min variable with item value
    continue until end of array
the minimum of a,b,c is our answer

E, para encontrar o quinto maior item, precisamos de K variáveis.

Exemplo: (k = 3)

[1,2,4,1,7,3,9,5,6,2,9,8]

Final variable values:

a=7 (answer)
b=8
c=9

Alguém pode revisar isso e me informar o que está faltando?

Aqui está a implementação do algoritmo eladv sugerida (eu também coloquei aqui a implementação com pivô aleatório):

public class Median {

    public static void main(String[] s) {

        int[] test = {4,18,20,3,7,13,5,8,2,1,15,17,25,30,16};
        System.out.println(selectK(test,8));

        /*
        int n = 100000000;
        int[] test = new int[n];
        for(int i=0; i<test.length; i++)
            test[i] = (int)(Math.random()*test.length);

        long start = System.currentTimeMillis();
        random_selectK(test, test.length/2);
        long end = System.currentTimeMillis();
        System.out.println(end - start);
        */
    }

    public static int random_selectK(int[] a, int k) {
        if(a.length <= 1)
            return a[0];

        int r = (int)(Math.random() * a.length);
        int p = a[r];

        int small = 0, equal = 0, big = 0;
        for(int i=0; i<a.length; i++) {
            if(a[i] < p) small++;
            else if(a[i] == p) equal++;
            else if(a[i] > p) big++;
        }

        if(k <= small) {
            int[] temp = new int[small];
            for(int i=0, j=0; i<a.length; i++)
                if(a[i] < p)
                    temp[j++] = a[i];
            return random_selectK(temp, k);
        }

        else if (k <= small+equal)
            return p;

        else {
            int[] temp = new int[big];
            for(int i=0, j=0; i<a.length; i++)
                if(a[i] > p)
                    temp[j++] = a[i];
            return random_selectK(temp,k-small-equal);
        }
    }

    public static int selectK(int[] a, int k) {
        if(a.length <= 5) {
            Arrays.sort(a);
            return a[k-1];
        }

        int p = median_of_medians(a);

        int small = 0, equal = 0, big = 0;
        for(int i=0; i<a.length; i++) {
            if(a[i] < p) small++;
            else if(a[i] == p) equal++;
            else if(a[i] > p) big++;
        }

        if(k <= small) {
            int[] temp = new int[small];
            for(int i=0, j=0; i<a.length; i++)
                if(a[i] < p)
                    temp[j++] = a[i];
            return selectK(temp, k);
        }

        else if (k <= small+equal)
            return p;

        else {
            int[] temp = new int[big];
            for(int i=0, j=0; i<a.length; i++)
                if(a[i] > p)
                    temp[j++] = a[i];
            return selectK(temp,k-small-equal);
        }
    }

    private static int median_of_medians(int[] a) {
        int[] b = new int[a.length/5];
        int[] temp = new int[5];
        for(int i=0; i<b.length; i++) {
            for(int j=0; j<5; j++)
                temp[j] = a[5*i + j];
            Arrays.sort(temp);
            b[i] = temp[2];
        }

        return selectK(b, b.length/2 + 1);
    }
}

é semelhante à estratégia quickSort, onde escolhemos um pivô arbitrário e trazemos os elementos menores para a esquerda e os maiores para a direita

    public static int kthElInUnsortedList(List<int> list, int k)
    {
        if (list.Count == 1)
            return list[0];

        List<int> left = new List<int>();
        List<int> right = new List<int>();

        int pivotIndex = list.Count / 2;
        int pivot = list[pivotIndex]; //arbitrary

        for (int i = 0; i < list.Count && i != pivotIndex; i++)
        {
            int currentEl = list[i];
            if (currentEl < pivot)
                left.Add(currentEl);
            else
                right.Add(currentEl);
        }

        if (k == left.Count + 1)
            return pivot;

        if (left.Count < k)
            return kthElInUnsortedList(right, k - left.Count - 1);
        else
            return kthElInUnsortedList(left, k);
    }

Vá para o final deste link: ...........

http://www.geeksforgeeks.org/kth-smallestlargest-element-unsorted-array-set-3-worst-case-linear-time/

Você pode encontrar o k-ésimo elemento no O (n) tempo e no espaço constante. Se considerarmos que o array é apenas para números inteiros.

A abordagem é fazer uma pesquisa binária no intervalo de valores da matriz. Se tivermos um min_value e um max_value ambos no intervalo inteiro, podemos fazer uma pesquisa binária nesse intervalo. Podemos escrever uma função comparadora que nos dirá se algum valor é o k-menor ou menor que o k-menor ou maior que o k-menor. Faça a pesquisa binária até atingir o número k-menor

Aqui está o código para isso

Solução de classe:

def _iskthsmallest(self, A, val, k):
    less_count, equal_count = 0, 0
    for i in range(len(A)):
        if A[i] == val: equal_count += 1
        if A[i] < val: less_count += 1

    if less_count >= k: return 1
    if less_count + equal_count < k: return -1
    return 0

def kthsmallest_binary(self, A, min_val, max_val, k):
    if min_val == max_val:
        return min_val
    mid = (min_val + max_val)/2
    iskthsmallest = self._iskthsmallest(A, mid, k)
    if iskthsmallest == 0: return mid
    if iskthsmallest > 0: return self.kthsmallest_binary(A, min_val, mid, k)
    return self.kthsmallest_binary(A, mid+1, max_val, k)

# @param A : tuple of integers
# @param B : integer
# @return an integer
def kthsmallest(self, A, k):
    if not A: return 0
    if k > len(A): return 0
    min_val, max_val = min(A), max(A)
    return self.kthsmallest_binary(A, min_val, max_val, k)

Há também um algoritmo que supera o algoritmo de seleção rápida. É chamado algoritmo de Floyd-Rivets (FR) .

Artigo original: https://doi.org/10.1145/360680.360694

Versão para download: http://citeseerx.ist.psu.edu/viewdoc/download?doi=10.1.1.309.7108&rep=rep1&type=pdf

Artigo da Wikipedia https://en.wikipedia.org/wiki/Floyd%E2%80%93Rivest_algorithm

Tentei implementar o quickselect e o algoritmo FR em C ++. Também os comparei com as implementações padrão da biblioteca C ++ std :: nth_element (que é basicamente o híbrido introselect de quickselect e heapselect). O resultado foi a seleção rápida e o nth_element foi executado comparativamente em média, mas o algoritmo FR foi executado aprox. duas vezes mais rápido em comparação com eles.

Código de exemplo que eu usei para o algoritmo FR:

template <typename T>
T FRselect(std::vector<T>& data, const size_t& n)
{
    if (n == 0)
        return *(std::min_element(data.begin(), data.end()));
    else if (n == data.size() - 1)
        return *(std::max_element(data.begin(), data.end()));
    else
        return _FRselect(data, 0, data.size() - 1, n);
}

template <typename T>
T _FRselect(std::vector<T>& data, const size_t& left, const size_t& right, const size_t& n)
{
    size_t leftIdx = left;
    size_t rightIdx = right;

    while (rightIdx > leftIdx)
    {
        if (rightIdx - leftIdx > 600)
        {
            size_t range = rightIdx - leftIdx + 1;
            long long i = n - (long long)leftIdx + 1;
            long long z = log(range);
            long long s = 0.5 * exp(2 * z / 3);
            long long sd = 0.5 * sqrt(z * s * (range - s) / range) * sgn(i - (long long)range / 2);

            size_t newLeft = fmax(leftIdx, n - i * s / range + sd);
            size_t newRight = fmin(rightIdx, n + (range - i) * s / range + sd);

            _FRselect(data, newLeft, newRight, n);
        }
        T t = data[n];
        size_t i = leftIdx;
        size_t j = rightIdx;
        // arrange pivot and right index
        std::swap(data[leftIdx], data[n]);
        if (data[rightIdx] > t)
            std::swap(data[rightIdx], data[leftIdx]);

        while (i < j)
        {
            std::swap(data[i], data[j]);
            ++i; --j;
            while (data[i] < t) ++i;
            while (data[j] > t) --j;
        }

        if (data[leftIdx] == t)
            std::swap(data[leftIdx], data[j]);
        else
        {
            ++j;
            std::swap(data[j], data[rightIdx]);
        }
        // adjust left and right towards the boundaries of the subset
        // containing the (k - left + 1)th smallest element
        if (j <= n)
            leftIdx = j + 1;
        if (n <= j)
            rightIdx = j - 1;
    }

    return data[leftIdx];
}

template <typename T>
int sgn(T val) {
    return (T(0) < val) - (val < T(0));
}

O que eu faria é o seguinte:

initialize empty doubly linked list l
for each element e in array
    if e larger than head(l)
        make e the new head of l
        if size(l) > k
            remove last element from l

the last element of l should now be the kth largest element

Você pode simplesmente armazenar ponteiros para o primeiro e o último elemento na lista vinculada. Eles mudam apenas quando são feitas atualizações na lista.

Atualizar:

initialize empty sorted tree l
for each element e in array
    if e between head(l) and tail(l)
        insert e into l // O(log k)
        if size(l) > k
            remove last element from l

the last element of l should now be the kth largest element

Primeiro, podemos construir uma BST a partir de uma matriz não classificada, que leva tempo O (n) e, a partir da BST, podemos encontrar o k-ésimo menor elemento em O (log (n)) que, em geral, conta com uma ordem de O (n).