Não faz diferença quando usado assim.
remote updateé um comando de alto nível - ele suporta remotos agrupados ( remotes.<group> = <list>) e atualiza todos os remotos (exceto aqueles com remote.<name>.skipDefaultUpdateset), mas não qualquer uma das opções mais específicas de busca. Por trás, porém, ele faz exatamente a mesma coisa que buscar com as opções padrão.
A resposta recomendando em remote updatevez de git fetch era, na verdade, recomendá-lo sem um nome remoto, apenas por uma questão de buscar tudo, não apenas aquele nomeado como um argumento. Isso é equivalente a git fetch --all.
Devo acrescentar a ressalva de que fetch e remote update não usavam o mesmo codepath até a v1.6.6.1 (lançado em 23 de dezembro de 2009). Mesmo antes disso, porém, eles faziam essencialmente a mesma coisa, apenas usando um código diferente (possivelmente se comportando de maneira um pouco diferente em casos extremos, mas não consigo pensar em nenhum de cabeça).